2016-2017初三期中考试卷数学
解答： 解：如图所示，AB=2，BC= ，
∴sinA= = ，
∴∠A=60°.
∴tan =tan30°= .
点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答.
15.在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P(点P与点A，C不重合)，过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有 4 条.
考点： 相似三角形的判定.
分析： 过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可.
解答： 解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB;
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB;
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB;
④作∠PGC=∠A，则△GCP∽△ACB.
故答案为：4.
点评： 本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似;有两个角对应相等的两个三角形相似.
16.如图，点P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD.有下列五个结论：
①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2AP•PB;④S△AOB=3S△AOP;⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16.
其中正确结论的序号是 ③④ .
考点： 一次函数综合题.
分析： ①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故选项错误;
②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故选项错误;
③由直线的斜率可知 = ， =1，根据2( )= ，即可求得OP2=2AP•PB，故选项正确;
④设A(m， m)，则B(m，﹣m)，得出△AOP的面积= OP• m= m•OP，△BOP的面积= OP•m= •OP，从而求得S△BOP=2S△AOP，进而得出S△AOB=3S△AOP，故选项正确;
⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2，进而求得AB=3，所以正方形的周长=12，故选项错误;
解答： 解：①由直线y= x，直线y=﹣x可知，它们的斜率的积=﹣ ≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误;
②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形;
③由直线的斜率可知： = ， =1，
∴2( )= ，
∴OP2=2AP•PB，故OP2=2AP•PB正确;
④设A(m， m)，则B(m，﹣m)，
∵△AOP的面积= OP• m= m•OP，△BOP的面积= OP•m= •OP，
∴S△BOP=2S△AOP，
∴S△AOB=3S△AOP，
故S△AOB=3S△AOP正确;
⑤t=2时，PA= ×2=1，
PB=|﹣1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12;故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误;
故答案为③④.
点评： 本题考查了 直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP2=2AP•PB的求得是本题的难点.
三、解答题(共102分)
17.解方程
(1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)
(2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)
考点： 解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.
分析： (1)先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后根据直接开平方解可以求解了.
(2)将原方程转化为一般形式，再求出a、b、c的值，最后代入求根求解就可以了.
解答： 解：(1)移项，得
x2﹣6x=18，
在方程两边同时加上9，得
x2﹣6x+9=18+9，
左边配方，得
(x﹣3)2=27，
解得x﹣3= ，
∴x1=3 +3，x2=﹣3 +3
(2)原方程变形为：
3x2+10x+5=0
∴a=3，b=10，c=5，
∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40>0，
∴x= ，
∴x1= ，x2= .
点评： 本题是一道一元二次方程的解答题，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法.
18.计算下列各题：
(1) sin60°﹣tan30°•cos60°;
(2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.
考点： 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析： (1)将特殊角的三角函数值代入求解;
(2)分别进行绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并.
解答： 解：(1)原式= ﹣ ×
= ﹣ ;
(2)原式= + + ﹣
=1.
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题.
19.先化简，再求值： ，其中a满足方程a2+4a+1=0.
考点： 分式的化简求值.
专题： 计算题.
分析： 把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值.
解答： 解：原式=
=
=
= = ，(6分)
∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，
∴原式= .(10分)
点评： 此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算.分式的化简求值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算.
20.如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
考点： 相似三角形的应用.
专题： 应用题.
分析： 如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解.
解答： 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP.
∴ ，
即 ，
解得，MA=5米;
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.
点评： 解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.
21.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件?
考点： 一元二次方程的应用.
分析： 设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量达到30976顶，由于现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批 同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品，由此即可列出方程解决问题.
解答： 解：设增加x台机器，
依题意得(80+x)(384﹣4x)=30976，
解得x1=x2=8.
答：应增加8台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件.
点评： 考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，然后把握增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题.
22.如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高.
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
专题： 应用题.
分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC.
解答： 解：作BE⊥CD于E.
可得Rt△BED和矩形ACEB.
则有CE=AB=16，AC=BE.
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC.
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC.
∵16+DE=DC，
∴16+AC= AC，
解得：AC=8 +8=DE.
所以塔CD的高度为(8 +24)米.
点评： 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.
23.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.
(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根;
(2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数?若能找到，求出k的值;若不能，请说明理由.
(3)当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长.
考点： 根与系数的关系;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式;三角形三边关系;等腰三角形的性质.
专题： 压轴题;分类讨论.
分析： (1)整理根的判别式，得到它是非负数即可.
(2)两实数根互为相反数，让﹣ =0即可求得k的值.
(3)分b=c，b=a两种情况做.
解答： 证明：(1)∵△=(2k+1)2﹣16(k﹣ )=(2k﹣3)2≥0，
∴方程总有实根;
解：(2)∵两实数根互为相反数，
∴x1+x2=2k+1=0，
解得k=﹣0.5;
(3)①当b=c时，则△=0，
即(2k﹣3)2=0，
∴k= ，
方程可化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不适合题意舍去;
②当b=a=4，则42﹣4(2k+1)+4(k﹣ )=0，
∴k= ，
方程化为x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∴c=2，
C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10.
点评： 一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍.
24.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F.
(1)求证：△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值.
考点： 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;直角梯形;锐角三角函数的定义.
专题： 几何综合题.
分析： (1)由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC;
(2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值;
(3)由(1)可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值.
解答： (1)证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF= AB，
而CD∥AB，CD= AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC;
(2)解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ;
(3)解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴ = = ，即EG= CD，
同理FH= CD，
∴ = = .
点评： 本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用.关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系.
25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t(单位：秒，0
(1)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值?若存在，求S的最小值;若不存在，请说明理由.
考点： 相似形综合题.
专题： 压轴题.
分析： 根据勾股定理求得AB=5cm.
(1)分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;
(2)如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= (t﹣ )2+ (0
解答： 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.
∴根据勾股定理，得 =5cm.
(1)以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t= ;
②当△APM∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t=0(不合题意，舍去);
综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似;
(2)存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值.
如图，过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴PH= t，
∴S=S△ABC﹣S△BPN，
= ×3×4﹣ ×(3﹣t)• t，
= (t﹣ )2+ (0
∵ >0，
∴S有最小值.
当t= 时，S最小值= .
答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 .
点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式.解答(1)题时，一定要分类讨论，以防漏解.另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边.
26 .如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE;F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P.
(1)若n=1，则 = ， = ;
(2)若n=2，求证：8AP=3PE;
(3)当n= 时，AE⊥DF(直接填出结果，不要求证明).
考点： 正方形的性质;相似三角形的判定与性质.
专题： 动点型.
分析： (1)可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解.
(2)同(1)解法.
(3)根据已知及相似三角形的性质进行求解.
解答： 解：(1)延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，
∴PE= n，
∴AP：PE=3：5，
∴ = ， = ;
(2)证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HD P， ，
设AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH= ，
∴PE= ，
∴ = ，
∴8AP=3PE;
(3)当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF= AD= AB，BF= AB，
∴BF= AF，
∴n= .
点评： 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键。
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