数列公式大全（大全15篇）

数列公式推荐度：
相关推荐

数列公式大全（大全15篇）

数列公式大全1

　　等比数列求和公式

　　1.等比数列通项公式

　　an=a1×q^(n-1);

　　推广式：an=am×q^(n-m);

　　2.等比数列求和公式

　　Sn=n×a1(q=1);

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);

　　(q为公比，n为项数)。

　　3.等比数列求和公式推导

　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q);

　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);

　　(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);

　　(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;

　　(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);

　　(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);

　　(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

　　(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

　　拓展阅读：等比数列的性质

　　(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

　　(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

　　(3)若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。

　　(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的`对数。

　　(6)等比数列前n项之和。

　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中An表示A的n次方。

　　(7)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

数列公式大全2

　　公式

　　Sn=(a1+an)n/2

　　Sn=na1+n(n-1)d/2; （d为公差）

　　Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

　　和为 Sn

　　首项 a1

　　末项 an

　　公差d

　　项数n

　　通项

　　首项=2×和÷项数-末项

　　末项=2×和÷项数-首项

　　末项=首项+（项数-1）×公差

　　项数=（末项-首项）（除以）/ 公差+1

　　公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1

　　d=an-a

　　性质：

　　若 m、n、p、q∈N

　　①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

　　②若m+n=2q，则am+an=2aq

　　注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。

数列公式大全3

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

　　(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的'一群孤立的点。

　　(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

数列公式大全4

　　1、爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”新课程的教材比以前有了更多的背景足以说明。本节也以国际象棋的故事为引例来激发学生的学习兴趣，然而却在求和公式的证明中以“我们发现，如果用公比乘…”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的数学文化背景下进一步拓展学生的视野，使数学知识的发生及形成更为自然，更能贴近学生的认知特征，是每一位教师研讨新教材的重要切入点。

　　2、“课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。”“教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。”这些都是《数学课程标准》对教材编写的建议，更是对课堂教学实践的要求。然而，在新课程的教学中，“穿新鞋走老路”仍是常见的现状，“重结果的应用，轻过程的探究”或者是应试教育遗留的祸根，却更与教材的编写，教师对《课程标准》、教材研究的深浅有关，更与课堂教学实践密切相关。我们也曾留足时间让学生思考，却没有人能“发现”用“公比乘以①的两边”，设计“从特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到，也是对教学的'不断实践与探索的成果。因此，新课程教材留给教师更多发展的空间，每位教师有责任也应当深刻理会《标准》的理念，认真钻研教材，促进《标准》及教材更加符合学生的实际。

　　3、先看文[1]由学生自主探究而获得的两种方法：

　　且不说初中教材已经把等比定理删去，学生能获得以上两种方法并不比发现乘以来得容易，无奈之下，有的教师便用“欣赏”来走马观花地让学生感受一下，这当然更不可取。

　　回到乘比错位相减法，其实要获得方法1并不难：可以用q乘以，那么是否可以在的右边提出一个q呢？请看：

　　与比较，右边括号中比少了一项：，则有

　　以上方法仅须教师稍作暗示，学生都可完成。

　　对于方法2，若去掉分母有，与方法1是一致的。

　　4、在导出公式及证明中值得花这么多时间吗？或者直接给出公式，介绍证明，可留有更多的时间供学生练习，以上过程，教师讲的是不是偏多了？

　　如果仅仅是为了让学生学会如何应试，诚然以上的过程将不为人所喜欢，因为按此过程，一节课也就差不多把公式给证明完，又哪来例题与练习的时间呢？

　　但是我们要追问：课堂应教给学生什么呢？课堂教学应从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与学习，其价值远远超过了公式的应用。

数列公式大全5

　　小升初奥数之数列求和公式汇总

　　等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

　　基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

　　公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

　　通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的'和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示

　　基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

　　基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；

　　通项＝首项＋（项数一1) ×公差；

　　数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

　　数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

　　项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

　　项数=（末项-首项）÷公差＋1；

　　公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

　　关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式

数列公式大全6

　　在几个公式中，最常用的是中项求和公式，其次是高斯求和公式。希望同学们能对这两个公式重点掌握和应用。

　　常见例题解析：

　　例1.某剧院有25排座位，后一排比前一排多一个，第一排有10个，请问一共有多少个座位?

　　A. 500 B. 550 C.600 D.650

　　【答案】B。第一排有10人，最后一排有10+(25-1)×1=34。根据高斯求和公式得：Sn=25(10+34)÷2=550。所以选择B。

　　例2.剧院当中共有33排，每一排比前排多2人，第一排有10人，请问该剧场共有多少人?

　　A.1250 B. 1386 C.1428 D.1576

　　【答案】B。因为一共有33排，所有根据中项求和公式得:Sn=33a17。一定能够被33整除，即你能背3整除又能被11整除。符合条件的只有1386。所以我们选择B。

　　由于等比数列求和公式少，所以考法也相对简单。有的时候是直接应用公式进行解题，有的时候只是用等比数列的思想，并不用求和公式。

　　常见例题解析：

　　例3.一种细菌分裂成第一天的两倍，经过20天的时间可以长满整个培养皿，请问第几天可以涨到一半?

　　A.10 B. 15 C.18 D.19

　　【答案】D。每天是头一天的.两倍，20天的时候长满，则第19天的时候应该正好长到培养皿的一半。所以选择D。

　　例4.老师向告诉小明一个消息，用了一分钟。事情紧急，老师和小明要不断地给其他同学打电话告知该消息并让知道这个消息的同学尽快把这个消息通知给其他人。班里面以公共有60个学生，请问最快需要多长时间可以让所有人都知道该消息?

　　A.3 B. 4 C.5 D.6

　　【答案】D。一分钟后，有老师和小明2个知道。2分钟后有4个人知道;3分钟后有8个人知道;4分钟后有16个人知道;5分钟后有32个人知道;6分钟后有64个人知道，大于老师和60个学生的数量和61，所以6分钟后所有人都可以知道该消息了。

　　这两类数列掌握之后，做题的时候便可助你一臂之力了。

数列公式大全7

　　等差数列求和公式推导过程：

　　设首项为a1 ,末项为an ,项数为n ,公差为d ,前n项和为Sn ,则有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差)

　　当d≠0时，Sn是n的二次函数，(n，Sn)是二次函数的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

　　注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

　　求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①

　　Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②

　　①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

　　Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

　　Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即(A1+An)

　　拓展阅读：等比数列的五个基本公式

　　(1)等比数列的.通项公式是：

　　An=A1×q^(n-1)

　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

　　(2)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

　　(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②当q=1时，Sn=n×a1(q=1)

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

数列公式大全8

　　等比数列求和公式

　　q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

　　q=1时，Sn=na1

　　(a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)

　　这个常数叫做等比数列的'公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

　　等比数列求和公式推导

　　Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

　　qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

　　Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　a(n+1)=a1qn

　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

数列公式大全9

　　一、高中数列基本公式：

　　1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

　　2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

　　3、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

　　当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的`正比例式。

　　4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k

　　(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

　　5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);

　　当q≠1时，Sn= Sn=

　　二、高中数学中有关等差、等比数列的结论

　　1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

　　2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

　　3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

　　4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

　　5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

　　6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

　　{an bn}、、仍为等比数列。

　　7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

　　8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

　　9、三个数成等差数列的设法：a-d，a，a+d;四个数成等差的设法：a-3d，a-d，，a+d，a+3d

　　10、三个数成等比数列的设法：a/q，a，aq;

　　三、个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3 (为什么?)

　　11、{an}为等差数列，则 (c>;0)是等比数列。

　　12、{bn}(bn>;0)是等比数列，则{logcbn} (c>;0且c1) 是等差数列。

　　13. 在等差数列中：

　　(1)若项数为，则

　　(2)若数为则，，

　　14. 在等比数列中：

　　(1) 若项数为，则

　　(2)若数为则，

数列公式大全10

　　数列的基本概念等差数列

　　(1)数列的通项公式an=f(n)

　　(2)数列的递推公式

　　(3)数列的通项公式与前n项和的关系

　　an+1-an=d

　　an=a1+(n-1)d

　　a，A，b成等差 2A=a+b

　　m+n=k+l am+an=ak+al

　　等比数列常用求和公式

　　an=a1qn_1

　　a，G，b成等比 G2=ab

　　m+n=k+l aman=akal

　　不等式

　　不等式的基本性质重要不等式

　　a>b b

　　a>b，b>c a>c

　　a>b a+c>b+c

　　a+b>c a>c-b

　　a>b，c>d a+c>b+d

　　a>b，c>0 ac>bc

　　a>b，c<0 ac

　　a>b>0，c>d>0 ac

　　a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)

　　a>b>0 > (n∈Z，n>1)

　　(a-b)2≥0

　　a，b∈R a2+b2≥2ab

　　|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

　　证明不等式的基本方法

　　比较法

　　(1)要证明不等式a>b(或a

　　a-b>0(或a-b<0=即可

　　(2)若b>0，要证a>b，只需证明，

　　要证a

　　综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的`不等式(由因导果)的方法。

　　分析法分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”

数列公式大全11

　　一、知识与技能

　　1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;

　　2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.

　　二、过程与方法

　　1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力；

　　2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性.

　　三、情感态度与价值观

　　通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.

　　教学过程

　　导入新课

　　师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)

　　(1)0，5，10，15，20，25，…;

　　(2)48，53，58，63，…;

　　(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

　　(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….

　　请你们来写出上述四个数列的第7项.

　　生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.

　　师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.

　　生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.

　　师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.

　　生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.

　　师：作差是否有顺序，谁与谁相减？

　　生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.

　　师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.

　　这就是我们这节课要研究的内容.

　　推进新课

　　等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).

　　（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

　　（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.

　　师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力)

　　生：从“第二项起”和“同一个常数”.

　　师：：很好！

　　师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

　　生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….

　　师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.

　　［合作探究］

　　等差数列的通项公式

　　师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?

　　生：a2-a1=d,即a2=a1+d.

　　师：对，继续说下去!

　　生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

　　a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

　　……

　　师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?

　　生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.

　　师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?

　　生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：

　　因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.

　　师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.

　　［教师：精讲］

　　由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,

　　即a1=am-(m-1)d.

　　则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

　　即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)

　　由此我们还可以得到.

　　［例题剖析］

　　【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;

　　（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

　　师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?

　　生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

　　师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.

　　生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).

　　由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.

　　师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).

　　说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的`正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.

　　【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

　　例题分析：

　　师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?

　　生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.

　　师：说得对，请你来求解.

　　生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕

　　an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,

　　所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

　　师：这里要重点说明的是：

　　(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….

　　(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

　　(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习

　　(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.

　　分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙.

　　解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.

　　评述：关键是求出通项公式.

　　(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.

　　解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.

　　所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.

　　评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性.

　　(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.

　　分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.

　　解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.

　　令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.

　　(4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.

　　解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.

　　令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.

　　课堂小结

　　师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力)

　　生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).

数列公式大全12

　　不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。

　　一、已知数列的前几项

　　已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。

　　例1、求数列的通项公式

　　（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

　　（2）9，99，999，……

　　分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

　　（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

　　此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。

　　二、已知数列的前n项和Sn

　　已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）

　　例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an

　　分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an

　　Sn——1＝a1+a2 +……+an——1

　　上两式相减得 Sn -Sn——1=an

　　解：当n=1时，a1=S1=5

　　当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

　　∵n=1不适合上式

　　∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）

　　三、已知an与Sn关系

　　已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。

　　（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。

　　例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。

　　分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。

　　（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。

　　例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

　　求数列{an}的通项公式。

　　分析：根据an与Sn的`关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。

　　解：由an+1=2Sn+1

　　得an=2Sn-1+1（n≥2）

　　两式相减，得an+1-an=2an

　　∴an+1=3an （n≥2）

　　∵a2=2Sn+1=3

　　∴a2=3a1

　　∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

　　∴an=3n-1

　　（3）an+1=an+f（n），用叠加法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=a1+f（1）

　　a3=a2+f（2）

　　a4=a3+f（3）

　　……

　　+）an=an——1+f（n-1）

　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

　　例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

　　则{an}的通项公式=（）

　　解：∵an+1=an+2n

　　∴a2 =a1+2×1

　　a3=a2+2×2

　　a4=a3+2×3

　　……

　　+）an=an——1+2（n-1）

　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

　　=2+2×（1+n-1）（n-1）

　　=n2-n+2

　　（4）an+1=f（n）an，用累积法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3

　　……

　　×）an=f（n-1）an-1

　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

　　例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）

　　解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

　　a3=22a2 a4=23a3

　　……

　　×） an=2n——1·an——1

　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

　　（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）

　　an+1=an+p·qn（pq≠0），

　　an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

　　（p、q、r为常数）

　　这些类型均可用构造法或迭代法。

　　①an=pan——1+q （p、q为常数）

　　构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

　　将关系式两边都加上x

　　得an+x=Pan——1+q+x

　　=P（an——1 + q+x/p）

　　令x=q+x/p，得x=q/p-1

　　∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。

　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

　　∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

　　迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……

　　例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an

　　解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈N+）

　　两式相减得an=2an-1+1

　　两边加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈N+）

　　构造成以2为公比的等比数列{an+1}

　　②an=Pan-1+f（n）

　　例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）

　　证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

　　分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

　　方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

　　用比较系数法可求得λ=-1/5

　　方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。

　　方法三：迭代法。

　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

　　③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

　　（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

　　例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

　　分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

　　∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

　　（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

　　分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

　　得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

　　令an/2n=bn

　　则bn=3/2bn-1+1/2

　　④an=p（an——1）q（p、q为常数）

　　例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。

　　方法一：将已知两边取对数

　　得lgan=2lgan——1-lga

　　令bn=lgan

　　得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　方法二：迭代法

　　an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2

　　=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23

　　=……=a·（a1/a）2n——1

　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）

　　将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

　　解：∵an+1=an/an+2

　　∴1/an+1=2·1/an+1

　　两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

　　∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

　　∴an=1/2n-1

　　以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。

数列公式大全13

　　等差数列公式an=a1+(n-1)d

　　a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差

　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2

　　Sn=(a1+an)n/2

　　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq

　　若m+n=2p则：am+an=2ap

　　以上n.m.p.q均为正整数

　　文字翻译

　　第n项的值an=首项+（项数-1）×公差

　　前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1）公差/2

　　公差d=(an-a1)÷（n-1）

　　项数=（末项-首项）÷公差+1

　　数列为奇数项时，前n项的`和=中间项×项数

　　数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2

　　等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

　　通项公式

　　公差×项数+首项-公差

数列公式大全14

　　在高一（5）班上好“等差数列求和公式”这一堂课后，通过和学生的互动，我对求和公式上课时遇到的几点问题提出了一点思考：

　　一、对内容的理解及相应的教学设计

　　1、“数列前n项的和”是针对一般数列而提出的一个概念，教材在这里提出这个概念只是因为本节内容首次研究数列前n项和的问题。因此，教学设计时应注意“从等差数列中跳出来”学习这个概念，以免学生误认为这只是等差数列的一个概念。

　　2、等差数列求和公式的教学重点是公式的推导过程，从“掌握公式”来解释，应该使学生会推导公式、理解公式和运用公式解决问题。其实还不止这些，让学生体验推导过程中所包含的数学思想方法才是更高境界的教学追求，这一点后面再作展开。本节课在这方面有设计、有突破，但教师组织学生讨论与交流的环节似乎还不够充分，因为这个层面上的学习更侧重于让学生“悟”。

　　3、用公式解决问题的内容很丰富。本节课只考虑“已知等差数列，求前n项”的问题，使课堂不被大量的变式问题所困扰，而能专心将教学的重点放在公式的推导过程。这样的处理比较恰当。

　　二、求和公式中的数学思想方法

　　在推导等差数列求和公式的过程中，有两种极其重要的数学思想方法。一种是从特殊到一般的探究思想方法，另一种是从一般到特殊的化归思想方法。

　　从特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本节课基本按教材的设计，依次解决几个问题。

　　从一般到特殊的化归思想方法的揭示是本节课的最大成功之处。以往人们常常只注意到“倒序相加”是推导等差数列求和公式的关键，而忽视了对为什么要这样做的思考。同样是求和，与的本质区别是什么？事实上，前者是100个不相同的数求和，后者是50个相同数的求和，求和的本质区别并不在于是100个还是50个，而在于“相同的数”与“不相同的数”。相同的数求和是一个极其简单并且在乘法中早已解决了的问题，将不“相同的.数求和”（一般）化归为“相同数的求和”（特殊），这就是推导等差数列求和公式的思想精髓。不仅如此，将一般的求和问题化归为我们会求（特殊）的求和问题这种思想还将在以后的求和问题中反复体现。

　　在等差数列求和公式的推导过程中，其实有这样一个问题链：

　　为什么要对和式分组配对？（因为想转化为相同数求和）

　　为什么要“倒序相加”？（因为可以避免项数奇偶性讨论）

　　为什么“倒序相加”能转化为相同数求和？（因为等差数列性质）

　　由此可见，“倒序相加”只是一种手段和技巧，转化为相同数求和是解决问题的思想，等差数列自身的性质是所采取的手段能达到目的的根本原因。

　　三、几点看法

　　1、注意挖掘基础知识的教学内涵

　　对待概念、公式等内容，如果只停留在知识自身层面，那么教学常常会落入死记硬背境地。其实越是基础的东西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家带领学生去认真体验，当然这样的课不好上。

　　2、用好教材

　　现在的教材有不少好的教学设计，需要教师认真对待，反复领会教材的意图。当然，由于教材的客观局限性，还需要教师去处理教材。譬如本节课，课堂所呈现的基本上是教材的内容顺序和教学设计，但面对教材所给的全部内容时，课堂能否在某个环节上停下来，能否合理地选取教材的一部分内容作为这一节课的内容，而将其他的内容留到后面的课，这就体现教师的认识和处理教材的水平。

　　3、学无止境

　　一堂课所要追求的教学价值当然是尽量能多一些更好，但应分清主次。譬如本节课还用了几个“实际生活问题”，意图是明显的，教师的提问和处理也比较恰当。课没有最好只有更好！