活学活用的乘法运算分配律

活学活用的乘法运算分配律

　　上周数学培优课老师布置了这么几道数学题：

　　1、(a 2b)3

　　2、(2a-b)5

　　3、(a b)7

　　4、(a-b)5

　　5、(a b)5

　　我这人比较喜欢偷懒，但不是一般的偷懒，而是总想找个捷径。我便一遍又一遍的看起这几道题来，看多了我还真发现有规律可循：这几道题可以归结为(a b)n的形式，如果能列出(a b)n展开后的代数式，那一切的问题便都迎刃而解了。找到了目标，我便踏上了寻找规律的漫长的路。

　　我从(a b)2=a2 2ab b2开始着手，得出：

　　(a b)3=(a b)(a b)2

　　=(a b)(a2 2ab b2)

　　=a3 3a2b ab2 a2b 2ab2 b3

　　=a3 3a2b 3ab2 b3

　　(a b)4=(a b)(a b)3

　　=(a b)(a2 3a2b 3ab2 b2)

　　=a4 3a3b 3a2b2 ab3 a3b 3a2b2 3ab3 b4

　　=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

　　(a b)5=(a b)(a b)4

　　=(a b)(a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4)

　　=a5 4a4b 6a3b2 4a2b3 ab4 a4b 4a3b2 6a2b3 4ab4 b5

　　=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5

　　(a b)6=(a b)(a b)5

　　=(a b)(a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5)

　　=a6 5a5b 10a4b2 10a3b3 5a2b4 ab5 a5b 5a4b2 10a3b3 10a2b4 5ab5 b6

　　=a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6

　　(a b)7=(a b)(a b)6

　　=(a b)(a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6)

　　=a7 6a6b 15a5b2 20a4b3 15a3b4 6a2b5 ab6 a6b 6a5b2 15a4b3 20a3b4 15a2b5 6ab6 b7

　　=a7 7a6b 21a5b2 35a4b3 35a3b4 21a2b5 7ab6 b7

　　推导到此处，我发现了(a b)n展开式中，各项的字母次方和均为n，但依然没有发现各项的系数有什么规律。但隐隐约约感觉到当n为奇数和偶数时各有不同。聪明的'你能告诉我吗？

　　不过我所掌握的对付老师留下的作业已是小菜一碟了。

　　如： (a 2b)3

　　=a3 3a2(2b) 3a(2b)2 (2b)3

　　=a3 6a2b 12ab2 8b3

　　(2a-b)5

　　=(2a)5 5(2a)4(-b) 10(2a)3(-b)2 10(2a)2(-b)3 5(2a)(-b)4 (-b)5

　　=32a5-80a4b 80a3b2-40a2b3 10ab4-b5

　　看，复杂的题是否已经变得简单了！