因式分解的十二种方法

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因式分解的十二种方法

　　学习初中数学因式分解方程首要培养学习兴趣，并培养学习习惯；其次是多做题，熟练掌握；最后就是掌握好因式分解方程的常用方算法，与做题相结合，能够让自己更好的理解这些方算法。接下来小编为你带来因式分解方程的十二种方算法，希望对你有帮助。

　　因式分解方程是我们解决许多数学问题的有力工具。接下来的内容是初二数学知识点之因式分解方程。

　　因式分解方程

　　定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解方程(也叫作分解因式)。

　　分解因式与整式乘法为相反变形。

　　同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤

　　1、因式分解方程与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解方程法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

　　2 、所有的三次和三次以上多项式都可以因式分解方程。这看起来或许有点不可思议。比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解方程。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解方程。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

　　3 、因式分解方程虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解方程很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以比较笨，但是有效地解决找公因式的问题。

　　方法因式分解方程没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

　　注意三原则

　　1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)

　　2.最后结果只有小括号

　　3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))

　　4.最后结果每一项都为最简因式

　　归纳方法：

　　1.提公因式法。

　　2.公式法。

　　3.分组分解法。

　　4.凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

　　5.组合分解法。

　　6.十字相乘法。

　　7.双十字相乘法。

　　8.配方法。

　　9.拆项补项法。

　　10.换元法。

　　11.长除法。

　　12.求根法。

　　13.图象法。

　　14.主元法。

　　15.待定系数法。

　　16.特殊值法。

　　17.因式定理法。

　　温馨提示：在高等数学上因式分解方程有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系

　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

　　平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

　　平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

　　三个规定：

　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

　　平面直角坐标系的构成

　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

　　初中数学知识点：点的坐标的性质

　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

　　点的坐标的性质

　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

　　对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

　　初中数学知识点：因式分解方程的一般步骤

　　关于数学中因式分解方程的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

　　因式分解方程的一般步骤

　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

　　注意：因式分解方程一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解方程，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解方程，应该是指在有理数范围内因式分解方程，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

　　相信上面对因式分解方程的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

　　初中数学知识点：因式分解方程

　　下面是对数学中因式分解方程内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

　　因式分解方程

　　因式分解方程定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解方程。

　　因式分解方程要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④

　　因式分解方程与整式乘法的关系：m(a+b+c)

　　公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

　　公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

　　提取公因式步骤：

　　①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

　　分解因式注意；

　　①不准丢字母

　　②不准丢常数项注意查项数

　　③双重括号化成单括号

　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

　　⑤相同因式写成幂的形式

　　⑥首项负号放括号外

　　⑦括号内同类项合并。

　　通过上面对因式分解方程内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的内容给同学们的学习很好的帮助。

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解方程.因式分解方程的方算法多种多样,现总结如下：

　　1、提公因算法

　　如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

　　例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

　　x -2x -x=x(x -2x-1)

　　2、应用公式算法

　　是因为分解因式与整式乘算法有着互逆的关系,如果把乘算法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

　　例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

　　a +4ab+4b =（a+2b）

　　3、分组分解算法

　　要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m +5n-mn-5m

　　m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

　　= (m -5m )+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、十字相乘算法

　　对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解方程为(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x -19x-6

　　分析：1 -3

　　7 2

　　2-21=-19

　　7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

　　5、配方算法

　　对于那些不能利用公式算法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解方程.

　　例5、分解因式x +3x-40

　　解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

　　=(x+ ) -( )

　　=(x+ + )(x+ - )

　　=(x+8)(x-5)

　　6、拆、添项算法

　　可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解方程.

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、换元算法

　　有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解方程,最后再转换回来.

　　例7、分解因式2x -x -6x -x+2

　　2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

　　=x [2(x + )-(x+ )-6

　　令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

　　= x [2(y -2)-y-6]

　　= x (2y -y-10)

　　=x (y+2)(2y-5)

　　=x (x+ +2)(2x+ -5)

　　= (x +2x+1) (2x -5x+2)

　　=(x+1) (2x-1)(x-2)

　　8、求根算法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解方程为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

　　令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

　　通过综合除算法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1

　　则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、图象算法

　　令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解方程为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例9、因式分解方程x +2x -5x-6

　　令y= x +2x -5x-6

　　作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

　　则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、主元算法

　　先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解方程.

　　例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

　　分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

　　a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

　　=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、利用特殊值算法

　　将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解方程式.

　　例11、分解因式x +9x +23x+15

　　令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

　　将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

　　注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

　　则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

　　12、待定系数算法

　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解方程.

　　例12、分解因式x -x -5x -6x-4

　　分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

　　设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

　　= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

　　所以解得

　　则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

　　因式分解的定义

　　把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

　　因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

　　因式分解常用公式

　　1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。

　　2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

　　3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。

　　4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。

　　5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。

　　6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。

　　7、三项完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。

　　8、三项立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。

　　拓展阅读：因式分解方法

　　1、提公因式法

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

　　具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

　　基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式；

　　①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

　　②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

　　2、公式法

　　如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

　　3、十字相乘法

　　十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

　　口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。（拆两头，凑中间）