高三数学立体几何与空间向量专题复习的检测含答案

　　一、选择题

　　1.(2014武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()

　　解析 A、B、C与俯视图不符.

　　答案 D

　　2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()

　　解析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确.

　　答案 D

　　3.(2014安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()

　　A.21+3 B.18+3

　　C.21 D.18

　　解析

　　由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-231211+234(2)2=21+3.

　　答案 A

　　4.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于()

　　A.4B.3

　　C.2

　　解析

　　如图所示，由ABBC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，

　　所以ADDC.

　　又SA平面ABCD，

　　设SB1C1D1-ABCD为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，

　　得体对角线长为12+12+22=2R，

　　所以R=1，球O的表面积S=4.故选A.

　　答案 A

　　5.(2014湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()

　　A.1 B.2

　　C.3 D.4

　　解析

　　由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r=6+8-102=2.故选B.

　　答案 B

　　6.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()

　　A.323 B.48 C.643 D.163

　　解析

　　如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OEAD，

　　OO1面ABC，

　　AO1=33AB=3.∵OD=O A，

　　E为DA的中点.∵AD面ABC，

　　AD∥OO1，EO=AO1=3.

　　DO=DE2+OE2=23.

　　R=DO= 23.

　　V=43(23)3=323.

　　答案 A

　　二、填空题

　　7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是________.

　　解析

　　由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱锥的体积为132+3322=533.

　　答案 533

　　8.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1?V2=________.

　　解析设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1?V2=1?24.

　　答案 1?24

　　9.在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，则四面体ABCD的外接球的表面积为________.

　　解析构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则x2+y2+z2=772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S=4R2=772.

　　答案 772

　　三、解答题

　　10.下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.

　　(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的.俯视图(不要求叙述作图过程).

　　(2)求该多面体的体积(尺寸如图).

　　解 (1)作出俯视图如图所示.

　　(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的，所以截去的三棱锥体积

　　VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，

　　正方体体积V正方体AC1=23=8，

　　所以所求多面体的体积V=8-23=223.

　　11.

　　(2014安徽卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过 A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.

　　(1)证明：Q为BB1的中点;

　　(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.

　　解 (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，

　　所以平面QBC∥平面A1AD.

　　从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.

　　故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.

　　所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，

　　即Q为BB1的中点.

　　(2)如图，连接QA，QD.

　　设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC=a，则AD=2a.

　　VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，

　　VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，

　　所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，

　　又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，

　　所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.

　　B级能力提高组

　　1.(2014北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()

　　A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2S3

　　C.S3=S1且S3 S2 D.S3=S2且S3S1

　　解析作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 分别为OA，BC的中点)全等，所以S2=1222=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.故选D.

　　答案 D

　　2.(2014山东卷)三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则V1V2=________.

　　解析由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.

　　答案 14

　　(理)(2014课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.

　　(1)证明：PB∥平面AEC;

　　(2)设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

　　解 (1)连接BD交AC于点O，连接EO.

　　因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.

　　又E为PD的中点，所以EO∥PB.

　　EO平面AEC，PB平面AEC，

　　所以PB∥平面AEC.