数学反证法与放缩法知识点

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数学反证法与放缩法知识点

　　有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。下面是小编整理的数学反证法与放缩法知识点，欢迎大家阅读。

数学反证法与放缩法知识点

　　放缩法的定义：

　　把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。

　　反证法证题的步骤：

　　若A成立，求证B成立。

　　共分三步：

　　（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；

　　（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；

　　（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。

　　反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

　　放缩法的意义：

　　放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a<b,b<c，则a<c.

　　放缩法的操作：

　　若求证P<Q，先证P<P1<P2<…<Pn,再证恰有Pn<,高考;Q.

　　需注意：

　　（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。

　　（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn<Q.

　　数学反证法与放缩法知识点 1

　　反证法

　　反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

　　反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。

　　归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

　　证明步骤

　　反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

　　已知某命题：若A，则B，则此命题有4种情况：

　　1.当A为真，B为真，则AB为真，得BA为真；

　　2.当A为真，B为假，则AB为假，得BA为假；

　　3.当A为假，B为真，则AB为真，得BA为真；

　　4.当A为假，B为假，则AB为真，得BA为真；

　　∴一个命题与其逆否命题同真假。

　　即反证法是正确的。

　　假设B，推出A，就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的。

　　但实际推证的过程中，推出A是相当困难的，所以就转化为了推出与A相同效果的内容即可。这个相同效果就是与A（已知条件）矛盾，或是与已知定义、定理、大家都知道的事实等矛盾。