高二数学《等差数列及其前n项和》知识点

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高二数学《等差数列及其前n项和》知识点

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高二数学《等差数列及其前n项和》知识点

　　高二数学《等差数列及其前n项和》知识点 1

　　一、等差数列的有关概念：

　　1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。符号表示为an+1-an=d(n∈N*，d为常数)

　　2.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A=(a+b)/2，其中A叫做a，b的'等差中项

　　二、等差数列的有关公式

　　1.通项公式：an=a1+(n-1)d

　　2.前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)/2d+d=(a1+an)n/2

　　三、等差数列的性质

　　1.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，{an}为等差数列，则am+an=ap+aq

　　2.在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd

　　3.若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等差数列，公差为n2d

　　4.等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值。d<0 a1="">0时前n项和Sn有最大值

　　5.等差数列{an}的首项是a1，公差为d。若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn，则A=d/2，B=a1-d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件

　　四、解题方法

　　1.与前n项和有关的三类问题

　　(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想

　　(2)Sn=d/2*n2+(a1-d/2)n=An2+Bn?d=2A

　　(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值

　　2.设元与解题的技巧

　　已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;

　　若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元

　　高二数学《等差数列及其前n项和》知识点 2

　　等差数列公式

　　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

　　或an=am+(n-m)d

　　前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2

　　若m+n=2p则：am+an=2ap

　　以上n均为正整数

　　文字翻译

　　第n项的值=首项+(项数-1)*公差

　　前n项的和=(首项+末项)*项数/2

　　公差=后项-前项

　　等比数列公式

　　等比数列求和公式

　　(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

　　(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);

　　(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)

　　(4)性质：

　　①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2

　　(5)"G是a、b的`等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)"

　　(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

　　等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

　　高二数学《等差数列及其前n项和》知识点 3

　　1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。同样为数列的`等比数列的性质与等差数列也有相通之处。

　　2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)。等差数列练习题

　　3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。

　　4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

　　5.性质3：当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　高二数学《等差数列及其前n项和》知识点 4

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。

　　等差数列的性质：

　　（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；

　　（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；

　　（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；

　　（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap；

　　（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。

　　（6）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即

　　对等差数列定义的理解：

　　①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列。

　　②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有

　　③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；

　　④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的'依据；

　　⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

　　等差数列求解与证明的基本方法：

　　(1)学会运用函数与方程思想解题；

　　(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；

　　(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)。

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