高二数学排列组合的知识点

　　1。排列及计算公式

高二数学排列组合的知识点

　　从n个不同元素中，任取m（mn）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p（n，m）表示。

　　p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n！/（n—m）！（规定0！=1）。

　　2。组合及计算公式

　　从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c（n，m）表示。

　　c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（—m）！*m！）；c（n，m）=c（n，n—m）；

　　3。其他排列与组合公式

　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。

　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，。。。nk这n个元素的全排列数为n！/（n1！*n2！*。。。*nk！）。

　　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k—1，m）。

　　排列（Pnm（n为下标，m为上标））

　　Pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

　　组合（Cnm（n为下标，m为上标））

　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n—m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn—m

　　2008—07—0813：30

　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N—元素的总个数R参与选择的元素个数！—阶乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1

　　从N倒数r个，表达式应该为n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；

　　因为从n到（n—r+1）个数为n—（n—r+1）=r

　　举例：

　　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

　　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于排列P计算范畴。

　　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9—1种可能，个位数则应该只有9—1—1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P（3，9）=9*8*7，（从9倒数3个的乘积）

　　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表三国联盟，可以组合成多少个三国联盟？

　　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于组合C计算范畴。

　　上问题中，将所有的包括排列数的.个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3，9）=9*8*7/3*2*1

　　排列、组合的概念和公式典型例题分析

　　例1设有3名学生和4个课外小组。

　　（1）每名学生都只参加一个课外小组；

　　（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？

　　解

　　（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。

　　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。

　　点评

　　由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。

　　例2排成一行

　　其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

　　解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画树图的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种。

　　点评

　　按照分类的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。

　　例3判断

　　下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。

　　（1）高三年级学生会有11人：

　　①每两人互通一封信，共通了多少封信？

　　②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

　　（2）高二年级数学课外小组共10人：

　　①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

　　②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：

　　①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

　　②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

　　（4）有8盆花：

　　①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

　　②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

　　分析（1）

　　①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；

　　②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。

　　（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）。

　　（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

　　（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积。

　　（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

　　例4证明。

　　证明左式

　　右式。

　　等式成立。

　　点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化。

　　例5化简。

　　解法一原式

　　解法二原式

　　点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化。

　　例6解方程：（1）；（2）。

　　解（1）原方程

　　解得。

　　（2）原方程可变为

　　原方程可化为。

　　即，解得

　　第六章排列组合、二项式定理

　　一、考纲要求

　　1。掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题。

　　2。理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题。

　　3。掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

　　二、知识结构

　　三、知识点、能力点提示

　　（一）加法原理乘法原理

　　说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据。

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