高三数学解析几何练习及答案解析

　　一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

高三数学解析几何练习及答案解析

　　1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是()

　　A．D＋E＝2 B．D＋E＝1

　　C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m

　　解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.

　　2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()

　　A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

　　C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

　　解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

　　3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1||PF2|取最大值的点P为()

　　A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)

　　解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，

　　当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

　　4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()

　　A.165 B．3 C.163 D.253

　　解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的距离d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故选A.

　　5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()

　　A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0

　　C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0

　　解析 D 设切点为(x0，y0)，则y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，

　　切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

　　6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

　　解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n0，即m0.

　　7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()

　　A.54 B．5 C.52 D.5

　　解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

　　即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.

　　＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.

　　8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF2＝60，则PF1PF2＝()

　　A．3 B.3

　　C．23 D．2

　　解析 D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.

　　9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()

　　A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1

　　C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1

　　解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，

　　m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.

　　10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()

　　A.2 B.3

　　C．2 D．3

　　解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝

　　1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.

　　11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为()

　　A.5 B．25

　　C.3 D．23

　　解析 B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.

　　12．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()

　　A.19 B.14

　　C.13 D.12

　　解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的距离也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

　　13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，则l1l2的充要条件是a＝________.

　　解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.

　　【答案】 13

　　14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.

　　解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.

　　【答案】 147

　　15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

　　解析如图，圆的方程可化为

　　(x－3)2＋(y－4)2＝5，

　　|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.

　　在△OQM中，

　　12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，

　　|AQ|＝2555＝2，|PQ|＝4.

　　【答案】 4

　　16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．

　　解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．

　　则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

　　|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，

　　点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．

　　【答案】 x22－y22＝1(x2)

　　三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

　　17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的`圆C经过原点O.

　　(1)求圆C的方程；

　　(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．

　　解析 (1)设圆心为(a，b)，

　　则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，

　　故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

　　(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；

　　当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，

　　则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．

　　综上，直线方程为x＝0.

　　18．(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.

　　(1)求椭圆方程；

　　(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．

　　解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，

　　由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，

　　解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.

　　(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，

　　联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

　　则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，

　　又A(－2,0)，则AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.

　　19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.

　　(1)求椭圆C的方程；

　　(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

　　解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

　　由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.

　　椭圆方程为x216＋y27＝1.

　　(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，

　　由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，

　　故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①

　　由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，

　　代入①式并化简，得9y2＝112.

　　点M的轨迹方程为y＝473(－44)，

　　轨迹是两条平行于x轴的线段．

　　20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．

　　解析设P(x0，y0)(x00)，则y20＝2x0，

　　d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.

　　∵a0，x00，

　　(1)当01时，1－a0，

　　此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；

　　(2)当a1时，1－a0，

　　此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.

　　21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．

　　(1)求双曲线方程；

　　(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

　　(3)求△F1MF2的面积．

　　解析 (1)∵双曲线离心率e＝2，

　　设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，

　　则由点(4，－10)在双曲线上，

　　知＝42－(－10)2＝6，

　　双曲线方程为x2－y2＝6.

　　(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

　　MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，

　　MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．

　　(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.

　　22．(12分)已知实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.

　　(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

　　(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？

　　(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．

　　解析 (1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.

　　由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．

　　∵m1，

　　轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

　　(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．

　　由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

　　令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.

　　∵t0，t＝3.

　　此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．

　　(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，

　　设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则

　　d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，

　　d2＝2－a，

　　d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.

　　令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，

　　则f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24

　　＝－6a＋8a－23.

　　令f(a)＝0，得a＝－43.

　　∵当a－43时，f(a)0；

　　当－432时，f(a)0.

　　f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，

　　d1d2min＝5f－43＝22，

　　又椭圆的离心率为22，

　　d1d2的最小值等于椭圆的离心率．

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