物理学知识如何建构求解数学问题举例论文

　　［摘要］数学与物理学联系密切，通常使用数学知识求解物理学问题。笔者从相反的视角，以例题的方式阐述巧妙使用物理学知识建构求解数学问题，可使复杂的数学问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。

物理学知识如何建构求解数学问题举例论文

　　［关键词］物理学知识；数学解题

　　我们应强调各学科相互交叉渗透融合求解问题的思维和方法。笔者以例题的方式阐述巧妙借助物理学知识建构求解一些数学问题，以达到加强学科间知识渗透，培养和提高学生数学解题能力的目的。

　　1以物理模型为基础建构求解数学题

　　数学是解决物理学科的工具，即将一个具体的物理问题抽象成为一个纯粹的数学问题进行解决。相反，求解数学题也常用物理学中的方法和原理，通过建立物理模型进行求解。题目：在锐角ΔABC的三边上各找一点，连成三角形，使ΔABC的周长最短。分析：利用物理学中的`光行最速原理建模求解。如图1所示，设想AB、BC、CA表示三块两两相交的平面镜，AB面上有一点光源位于点X处，向BC面发出光线XY，在点Y反射后到达CA面的点Z处，最后光线回到AB面上的光点位于点P处。一般情况下，X和P不重合，但可以调整X的位置及XY的方向，总能使X和P重合，构成光线三角形。根据物理学中光行速原理，可以知道在ΔABC的所有内接三角形中，以光线三角形的周长最短。解答：如图2所示，设ΔXYZ为ΔABC的内接光线三角形，则根据光的反射原理，设∠XYB＝∠ZYC＝α，∠YZC＝∠XZA＝β，∠ZXA＝∠YXB＝γ，则容易求得α+β+γ＝π，∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。连接AY、BZ、CX，由∠YXB＝∠A可知X、Y、C、A四点共圆。同理，可得Y、Z、A、B四点共圆，Z、X、B、C四点共圆，易证AY⊥BC、BZ⊥CA、CX⊥AB，即ΔXYZ为ΔABC的垂足三角形。因此，我们只须作ΔABC三边的高，三个垂足就是所求的点。题目：给出一内角均小于23π的三角形，求作一点，使该点到该三角形的各顶点距离之和最小。分析：对物理系统的热能分析求解该问题。解答：如图3所示，在ΔABC的三个顶点A、B、C处安装三个光滑滑轮，取有公共端点X的三条等长细绳，使其分别绕过三个滑轮，在末端系有相同质量的法码，放手直至系统静止。此时，系统的热能最低，即P、Q、R三点都尽可能的低，即AP、BQ、CR尽可能的长，从而AP+BQ+CR最长。此时，AX+BX+CX最短。研究发现，当∠AXB＝∠BXC＝∠CXA＝23π时，AX+BX+CX最短。此时，点X即为所求的点。

　　2以物理学物理量矢量性建构求解数学题

　　题目：设三个不为零的复数Z1、Z2、Z3满足Z1+Z2+Z3＝0，|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，试判断由Z1、Z2、Z3对应的点可以组成怎样的三角形。分析：该题涉及数学复数知识，可以与物理学力的矢量性联系进行求解。解答：如图4所示，把复数Z1、Z2、Z3分别看成物理中的三个力F1、F2、F3，由于|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，则力的大小|F1|＝|F2|＝|F3|，由Z1+Z2+Z3＝0，可得合力F1+F2+F3＝0。由力的合成与分解平行四边形法则可知三个大小相等的力作用于一个质点A，若要保持该质点的平衡，只要这三个力两两之间的夹角均为23π即可，因此由Z1、Z2、Z3对应的点可以组成一个等边三角形。

　　3以物理学的一些原理建构求解数学题

　　题目：一个球从100m高处自由落下，每次着地后，又跳回到原高度的一半再落下。假定球与地面每次碰撞过程中没有能量损失，空气平均阻力大小不变，问等到球停止运动，停留在地面上时，球总共经过的距离为多少米？分析：此题是数学中的一个求无穷等比数列各项和的问题，如果用数学知识来计算求解比较复杂，现利用物理学中功能原理则容易求解。解答：设球的质量为m（kg），空气平均阻力大小为f（N），g为重力加速度，s为球总共经过的距离。球从100m高处自由落下，着地后只回到50m处，说明球的重力势能（E＝mgh）减少了，减少的原因是克服空气阻力做功，有fd＝ΔE，代入数值得f×（100+50）＝100mg-50mg，求得f＝13mg，同理，由功能原理有fs＝13mgs＝100mg，解得s＝300。因此球总共经过的距离为300m。

　　4以物理学物理量某一特性建构求解数学题

　　题目：有一列队伍长100m，通信员站在队尾。由于要传递某一要令，他匀速跑向队首，然后又以速度大小不变返回到队尾。假定队伍匀速前进并恰好行进了100m，问通信员的跑步距离是多少？分析：本题是数学应用题，如果仅仅用数学思想，忽视通信员、队伍速率和时间这几个物理学上的量来求解有一定难度。反过来，若以物理学中时间这个不变量建构得到方程，可以快速解答。解答：设通讯员的跑步距离为Sm，其速率为V1，队伍速率为V2，则通讯员从队尾跑到队首所花时间T1＝100/（V1-V2）。然后通讯员从队首跑到队尾所花时间T2＝100/（V1+V2），队伍前进100m所花时间T＝100/V2。因为通讯员往返时间等于队伍前进所花时间，即T＝T1+T2，抓住时间不变建构数学方程100/（V1-V2）+100/（V1+V2）＝100/V2，解得V1/V2＝1+2。故通讯员的跑步距离S＝V1T＝V1×（100/V2）＝100×（V1/V2）＝100×（1+2）m。

　　5以物理学实验数据处理方法“线性内插法”为基础建构求解数学题

　　物理学实验已测量第一次数据数值（x1，y1），第二次测量数据数值（x2，y2），待测物理量数值结果（x，y）可能出在第一次与第二次测量数值区间。

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