数论奥数专项分析

数论奥数专项分析1

　　1.在一位数的自然数中，既是奇数又是合数的是几?既不是合数又不是质数的是几?既是偶数又是质数的是几?

　　2.在1~100里最小的质数和最大的质数的和是多少?

　　3.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个数的积的多少?

　　4.把232323的全部质因数的和表示为AB，那么A×B×AB=?

　　5.三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是多少?

　　6.如果自然数有四个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是多少?

　　7.某一个数，它与自己相加、相减、相乘、相除得到的和、差、积、商之和为256，这个数是多少?

　　8.主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，你能求出这些孩子的年龄吗?主人家的楼号是多少?

　　9.今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103，如果将它们分成两组，每组五个数，且每组的五个数之和相等，那么，把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是多少?

　　10.四个同样的瓶子内装油，每瓶和其他各瓶称一次，重量为：8，9，10，11，12，13已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，最重的两瓶油内有多少公斤油?

　　5.能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?

　　6.在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

　　7.在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b(其中a≥b)。问：最后黑板上剩下的.是奇数还是偶数?

　　8.设a1，a2，…，a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;

　　c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;

　　d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;

　　……

　　这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数?

　　答案：

　　5.不能。提示：仿例3。

　　6.证：设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得20分的学生胜了x2局，败了y2局。由得分情况知：

　　x1-y1=7，x2-y2=20。

　　如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。

　　7.奇数。解：黑板上所有数的和S=1+2+…+909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-(a-b)=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。

　　8.偶数。

　　解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分别与下列32个数

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

　　……

　　最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数，故最后一个整数是偶数

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