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初中奥数几何计数练习题

时间:2021-07-07 16:55:50 数学 我要投稿

初中奥数几何计数练习题

  初中奥数几何计数练习题

  习题1:10个三角形最多将平面分成几个部分?

  解:设n个三角形最多将平面分成an个部分。

  n=1时,a1=2;

  n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6(个)交点。这6个交点将第二个三角形的.周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2=2+2×3。

  n=3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点,从而平面也增加了12个部分,即:

  a3=2+2×3+4×3。

  ……

  一般地,第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点,从而平面也增加2(n-1)×3个部分,故

  an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

  =2+[2+4+…+2(n-1)]×3

  =2+3n(n-1)=3n2-3n+2。

  特别地,当n=10时,a10=3×102+3×10+2=272,即10个三角形最多把平面分成272个部分。

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