数的整除数论奥数知识讲解及习题

　　一、基本概念和符号：

数的整除数论奥数知识讲解及习题

　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

　　二、整除判断方法：

　　1。能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

　　2。能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3。能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4。能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5。能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的`数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6。能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7。能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1。如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a—b）也能被c整除。

　　2。如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　例题：

　　在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5+6+□+2=13+□

　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

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