约数与倍数的奥数题

　　已知x、y为正整数，且满足xy-(x+y)=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y)(x≥y)

　　考点：约数与倍数.

　　分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).

　　则由原方程，得

　　kyy-(ky+y)=2y+ky，

　　∵y≠0，

　　∴ky-(k+1)=2+k，

　　∴k(y-2)=3，

　　当k=1时，x=5，y=5;

　　当k=3时，x=9，y=3;

　　②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式

　　得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)

　　当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;

　　当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

　　此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;

　　综上所述，满足条件的.数对有

　　点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数.

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