奥数数论解析整数拆分练习

奥数数论解析整数拆分练习1

　　有一些自然数，它可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和，求满足上述条件的最小自然数。

　　分析：设满足要求的最小自然数为11，由9个连续自然数的和是中间的数(第5个数)的9倍知，n是9的倍数;

　　同理，n是11的倍数;

　　又10个连续自然数a1,a2,…,a10的和为：

　　(a1+a10)×10÷2=5(a1+a10)

　　是5的倍数，所以n是5的倍数;

　　而9，11，5两两互质，所以n是5×9×11=495的倍数，由n的最小性取n=495，事实上，有：

　　495=51+52+53+…+59(9个连续自然数之和)

　　=45+46+47+…+54(10个连续自然数之和)

　　=40+41+42+…+50(11个连续自然数之和)

　　从而知，满足条件的最小自然数是495。

奥数数论解析整数拆分练习2

　　现在的奥数，其难度和深度远远超过了同级的义务教育教学大纲。而相对于这门课程，一般学校的数学课应该称为“普通基础数学”。特此为大家准备了最新奥数数论解析：整数拆分练习19。

　　若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子?

　　分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：(7+5)+(8+4)+(9+3)是六个6，从而：42=3+4+5+6+7+8+9一共有7个加数;又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数;又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

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奥数数论解析整数拆分练习3

　　有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1

　　P说：我不知道这两个数。

　　S说：我知道你不知道。

　　P说：我知道了这两个数。

　　S说：我也知道了。

　　根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗?

　　这是一道更加经典同时难度更大的`趣味数学题，是中的。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

　　首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。

　　我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

　　我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

　　于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接导出两数之和51、38×19可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我们继续进行。

　　此数是11吗?

　　因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。

　　此数是23吗?

　　76=4×19,112=16×7,S知道和为23，却无法断定出P。

　　同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

　　现在轮到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。

　　现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。

　　答案露出水面，这两个数是4和13。

奥数数论解析整数拆分练习4

　　奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读最新奥数数论解析---整数拆分练习10,感受奥数的奇异世界!

　　有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。

　　解答;在美国，妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法，就是整数的拆分。44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。

　　最后，我们得到的答案是44=2+3+4+5+4×2+3×3+2×4+1×5。和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。

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