简便方法求余数六年级奥数知识

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简便方法求余数六年级奥数知识

　　在日复一日的学习中，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编收集整理的简便方法求余数六年级奥数知识，欢迎阅读与收藏。

简便方法求余数六年级奥数知识

　　知识1：

　　首届“华罗庚金杯”复赛中有这样一道题：

　　71427和19的积被7除，余数是几?

　　有恒心的小朋友会先耐心地乘，再耐心地除，最后得到余数.即：

　　因此，71427与19的积被7除，余数是2.然而，小明却做出了另外一种方法.请看：先用71427和19两个数分别除以7，得到

　　再利用乘法的分配律变换算式

　　71427×19=(10203×7+6)×19

　　=10203×7×19+6×19

　　=10203×7×19+6×(2×7+5)

　　=10203×7×19+6×2×7+6×5

　　然后，他想，式中划“――”的部分都是7的倍数，能被7整除.那么，71427×19的积被7除的余数就等于式中划“”的部分(两个余数的乘积)被7除的余数，因此

　　6×5=30，

　　30÷7=4……余2.

　　所要求的余数是2.

　　请读者想想看，小明的做法有道理吗?在你认真思考后，如果认为他的做法还具有代表性，那么，你能概括出什么规律来吗?

　　【规律】

　　两个自然数的乘积被某数除所得的余数，等于两个数分别被某数除所得余数的乘积，再除以某数所得的余数.

　　【练习】

　　1.71427和71427的积被7除，余数是几?

　　2.求下面各式的余数.

　　(1)9804×73864÷3;

　　(2)9804×73864÷5;

　　(3)9804×73864÷7;

　　(4)9804×73864÷11;

　　(5)9804×73864÷13;

　　(6)123456789×987654321÷3;

　　(7)123456789×987654321÷5;

　　(8)123456789×987654321÷7.

　　3.思考下面的两道题.

　　(1)123、456、789这三个数连乘的积被3除，余数是几?

　　(2)1234、567、78、9四个数连乘的积被3除，余数是几?

　　4.再思考下面的两个问题.

　　(1)1991、1993、1994、1996、1997、1999、2000这七个数连乘的积被3除，余数是几?

　　(2)1至2000中所有不能被3整除的自然数连乘的积除以3，余数是几?

　　知识2：

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a(mod m);

　　②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

　　③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、费尔马小定理：

　　如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

　　余数及其应用

　　基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

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