整数分拆例析五年级奥数

　　整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最大(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。

　　例1将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆?

　　分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7×7=49。

　　例2将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积7×8=56。

　　注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有最大积m×(m+1)。

　　例3将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。

　　例4将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆?

　　分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

　　首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

　　其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的'和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。

　　又因为4=2×2，因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。