初中奥数数论约数与倍数知识点

　　(1)公约数和最大公约数

初中奥数数论约数与倍数知识点

　　几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　例如：4是12和16的最大公约数，可记做：(12 ，16)=4

　　(2)公倍数和最小公倍数

　　几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

　　(3)最大公约数和最小公倍数的关系

　　如果用a和b表示两个自然数

　　1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：

　　(a，b)×[a，b]=a×b。

　　(多用于求最小公倍数)

　　2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]

　　3、[a，b]是(a，b)的.倍数，(a，b)是[a，b]的约数

　　4、(a，b)是a+b 和a-b 的约数，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的约数

　　(4)求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。

　　例如：1、(短除法)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少?

　　解：∵

　　(30，60，75)=5×3=15

　　这个数最大是15。

　　2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少?

　　解：1001=7×11×13(这个质分解常用到) ， 308=7×11×4

　　所以最大公约数是7×11=77

　　在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。

　　3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

　　解：∵4811=2×1981+849，

　　1981=2×849+283，

　　849=3×283，

　　∴(4811，1981)=283。

　　补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。

　　(5)约数个数公式

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

　　例如：求240的约数的个数。

　　解：∵240=24×31×51，

　　∴240的约数的个数是

　　(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，

　　∴240有20个约数。

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