四年级奥数之计数问题

　　题型：计数问题

　　如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为"迎春数".那么，小于2008的"迎春数"共有__________个。

　　这是一道组合计数问题.

　　方法一：枚举法——按位数分类计算.

　　一、两位数中，"迎春数"个数

　　(1)十位数字是1，这样的"迎春数"有12，13，…，19，共8个;

　　(2)十位数字是2，这样的"迎春数"有23，…，29，共7个;

　　(3)十位数字是3，这样的"迎春数"有34，…，39，共6个;

　　(4)十位数字是4，这样的"迎春数"有45，…，49，共5个;

　　(5)十位数字是5，这样的"迎春数"有56，…，59，共4个;

　　(6)十位数字是6，这样的"迎春数"有67，68，69，共3个;

　　(7)十位数字是7，这样的"迎春数"有78，79，共2个;

　　(8)十位数字是8，这样的"迎春数"只有89这1个;

　　(9)没有十位数字是9的两位的"迎春数";

　　所以两位数中，"迎春数"共有36个.

　　二、三位数中，"迎春数"个数

　　(1)百位数字是1，这样的."迎春数"有123-129，134-139，…，189，共28个;

　　(2)百位数字是2，这样的"迎春数"有234-239，…，289，共21个;

　　(3)百位数字是3，这样的"迎春数"有345-349，…，389，共15个;

　　(4)百位数字是4，这样的"迎春数"有456-459，…，489，共10个;

　　(5)百位数字是5，这样的"迎春数"有567-569，…，589，共6个;

　　(6)百位数字是6，这样的"迎春数"有678，679，689，共3个;

　　(7)百位数字是7，这样的"迎春数"只有789，这1个;

　　(8)没有百位数字是8，9的三位的"迎春数";

　　所以三位数中，"迎春数"共有84个.

　　三、1000-1999的自然数中，"迎春数"个数

　　(1)前两位数字是12，这样的"迎春数"有1234-1239，…，1289，共21个

　　(2)前两位数字是13，这样的"迎春数"有1345-1349，…，1389，共15个;

　　(3)前两位数字是14，这样的"迎春数"有1456-1459，…，1489，共10个;

　　(4)前两位数字是15，这样的"迎春数"有1567-1569，…，1589，共6个;

　　(5)前两位数字是16，这样的"迎春数"有1678，1679，1689，共3个;

　　(6)前两位数字是17，这样的"迎春数"只有1789这1个;

　　(7)没有前两位数字是18，19的四位的"迎春数";

　　所以四位数中，"迎春数"共有56个.

　　四、2000-2008的自然数中，没有"迎春数"

　　所以小于2008的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个.

　　方法二：利用组合原理

　　小于2008的"迎春数"，只可能是两位数、三位数和1000多的数.

　　计算两位 "迎春数"的个数，它就等于从1-9这9个数字中任意取出2个不同的数字，

　　每一种取法对应于一个"迎春数"，即有多少种取法就有多少个"迎春数".显然不同的取

　　法有9×8÷2=36 中，所以两位的"迎春数"共有36个.

　　同样计算三位数和1000多的数中"迎春数"的个数，它们分别有 9×8×7÷3÷2÷1=84个和8×7×6÷3÷2÷1=56 个.

　　所以小于2008的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个。

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