小学奥数之整除问题

　　我们知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：

　　2+4=6，4+6=10，6+8=14，

　　2+6=8，4+8=12，6+10=16，

　　2+8=10，4+10=14，…………

　　2+10=12，…………

　　…………

　　2+4+6=12，

　　2+4+6+8=20，

　　2+4+6+8+10=30，

　　…………

　　4-2=2，6-4=2，8-6=2，

　　6-2=4，8-4=4，10-6=4，

　　8-2=6，10-4=6，…………

　　10-2=8，

　　…………

　　我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

　　我们还知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：

　　3+6=9，6+9=15，9+12=21，

　　3+9=12，6+12=18，9+15=24，

　　3+12=15，6+15=21，………

　　3+15=18，…………

　　………

　　3+6+9=18，

　　3+6+9+12=30，

　　3+6+9+12+18=48，

　　………

　　6-3=3，9-6=3，12-9=3，

　　9-3=6，12-6=6，15-9=6，

　　12-3=9，15-6=9，………

　　15-3=12，………

　　………

　　这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

　　有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的猜想：如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的.和或差也一定能被某个数整除.

　　令人不放心的是，关于这个猜想，我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢？解决这个问题的办法有两个：一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情！另一个办法是用符号（这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才！）表示出“猜想”中的数学关系，然后，去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者，你能完成这项工作吗？

　　【规律】

　　如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，就有A±B±C±……

　　的结果也能被m整除.

　　事实上，整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：

　　A=a?m，B=b?m，C=c?m，……

　　（其中a、b、c仍为整数）.这样

　　A±B±C±……

　　=a?m±b?m±c?m±……

　　=（a±b±c±……）?m.

　　显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式

　　A±B±C±……

　　也能被m整除.猜想是正确的.