奥数专题关于牛吃草的问题

　　“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。以下是小编帮大家整理的奥数专题牛吃草的问题，仅供参考，希望能够帮助到大家。

　　1、牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问供25头牛可以吃几天？

　　2、有一口井，井底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等。如果用4台抽水机来抽水，40分钟可以抽完；如果用5台抽水机来抽水，30分钟可以抽完。现在要求24分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？

　　3、有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天？

　　4、牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天。如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？

　　5、某牧场的牧草匀速生长，已知15头牛10天可以吃完牧场的草，或者25头牛5天吃完牧场的草，那么30头牛几天可以吃完这片牧草？

　　6、有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天；或者供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃，这片草地可以再吃几天？

　　7、牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

　　8、一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天。如果1头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃几天？

　　9、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船舱内。如果有10人淘水，3小时可淘完；5个人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

　　10、一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

　　11、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草？（每公亩牧场上原有的草量相等，且每公亩牧场上每天草的生长量相同）

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　　一、牛吃草问题

　　牛吃草问题是一个很有趣的问题，关键在于牧场每天都长新草，通过两组条件的比较，先求出每天（周）长牧草的新草量，然后把牛分成两部分，一部分吃新草，一部分吃旧草，从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的，但在解数学问题中，这种分成几部分去解决问题的方法，可以使复杂的问题变成简单的问题，化繁为简是常常应用的技巧之一。

　　例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？

　　解：设1头牛1周吃的草为1份，27头牛6周吃27×6=162（份），23头牛9周吃23×9=207（份），这说明牧场每周长新草（207－162）÷（9－6）=15（份）。原来（牛吃前）牧场有草 162－15×6=72（份）

　　吃新草的牛需要 15÷1=15（头）吃旧草的牛有 21－15=6（头）

　　吃完草的时间 72÷6=12（周）

　　例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？

　　解：20头牛5天吃草20×5=100（份）15头牛6天吃草15×6=90（份）

　　青草每天减少（100－90）÷（6－5）=10（份）牛吃草前牧场有草100＋10×5=150（份）150份草吃10天本可供150÷10=15（头）因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（头）

　　二、牛吃草问题概念及公式

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场牛吃草问题的·历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

　　假设定一头牛一天吃草量为“1”

　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

　　3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

　　这四个公式是解决消长问题的基础。

　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。