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出入相补原理
我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：
《周髀算经》（简称《周髀》），
《九章算术》（简称《九章》），
刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），
《海岛算经》（简称《海岛》），
赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容器容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理──出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
简单应用和比例理论
所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把△ACD移置△ACB处，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相补原理有：
Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面积相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。
测望术和重差理论
在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：
见上图，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：
刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：
由出入相补原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相减得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。
这就得到上述公式。
按《海岛》共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。
元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下图，现在重作证明如下：
由出入相补原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海岛公式。
如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线GM＇‖AH，如下图，再利用相似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明，这当然不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。注意作平行线的时候应有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。
明末耶稣会传教士利玛窦（1552—1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。现在提出这一问题，希望大家共同探讨。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：
如下图所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为两千来年数学发展的一个重要出发点，参阅以下各节和文末附表。
在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。
勾、股、弦和它们的和差互求
勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开平方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：
第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；
第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；
第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；
第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。
各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例原理作别证。
试以勾股章第十三折竹题为例。题设竹高已知，竹在某处折断，竹梢着地，着地处和竹根距离也已知。求折断处的高度，见上图。如果以竹梢着地处和竹根的距离作为勾，就是从股弦和、勾求股的问题，《九章》原文给出的公式是：
股弦差＝勾2/股弦和，
《刘注》又给出了另一公式：
为了证明前一公式，可以考虑上图，其中正方形ABCD和AEFG的边各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面积应该等于勾2。现在把□FD如图移到□CH，那么依出入相补原理，□BH的面积是勾2，而它的边长各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。
另一公式的刘徽证明也相类似。试考察下图，其中右下角曲尺部分的面积依勾股定理等于勾2，所以粗黑线围成部分的面积等于股弦和2－勾2。把长方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相补原理，这一面积是斜线部分面积的两倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。
秦九韶公式
秦九韶《数书九章》中有一题是已知不等边三角形田地三边的长（称大斜、中斜、小斜，以下简记为大、中、小），求田地面积。秦九韶的解法相当于下面的一般公式：
秦的公式来历不明，证明也失传了。
现在补作一证如下：
作大斜上的高分大斜成两部分，作为勾股形的股和弦，见上图。由
求高，或怎样求股。由于
股弦和＝大，
勾2＝弦2－股2＝中2－小2，
所以问题归结为怎样从股弦和、勾求股。
依上节的刘徽公式，得
由此就得到秦的公式。
按秦公式的形式十分古怪，当是依某种思路自然引导到这一形式的。
上面的证法颇为自然，也符合我国古代几何的传统特色，说它是原证，也是不无可能的。
在西方有所谓海伦公式（a、b、c是三角形三边的长）：
三角形面积＝
这一公式形式十分漂亮。正因为这样，如果已知海伦公式而再来推出秦的公式，将是不可思议的。相反，从秦的公式化简成海伦的公式，却是比较自然的发展。
据此我们至少可以断言，秦的公式是独立于海伦公式而得来的。
关于海伦的生平，从公元前二世纪到公元后十世纪以后，数学史家聚讼纷纭。至于海伦留传到现在的著作，也已经人指出，历代都经过重新编纂，有所增改，已经不是本来面目。这是熟悉希腊数学史的应予澄清的事，这里就不考虑了。
开平、立方
从勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再开平方就得弦。因而勾股定理的应用自然导致开平方的问题。
事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。
试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积是55225，求边AB的长，见上图。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面积是55225－2002＝15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH＝30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面积依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是
15225－（2×30×200＋302）＝2325。
现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK＝5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是
2325－（2×5×230＋522）＝0。
由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。
求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。
我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到十一世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。
解二次方程
在开平方的过程中，曾经出现像第84页下图中黑线部分那样的图形，其中2×EF称定法。开平方在求得AE以后，其次几步在于从曲尺形EBCDGF的已知面积求得EB。现在把□DF移到□CH，那么依出入相补原理，□BH面积已知，此外□BH的两边EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知数值。因而求EB的问题可以转化为下面的问题：
（A）已知一长方形（□BH）的面积、长阔差，求长阔。
反过来，这一问题的解法，可依开平方中第二步以下的方法求得，称为“开带从平方”。这在《九章》以来是用下面的语句来表达的。
（B）“以‘长方形面积’为实，‘长阔差’为从法，开方除之，得‘阔’”。
以上“从法”一名，当来自开平方过程中的“定法”，“开方”一词也说明了它的来历。
下面的例取自《九章》，见下图。图中ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依出入相补原理得
□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。
□EJ的长阔差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”为实，以“南步＋北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。
不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：
（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。
为此考赵爽残图如附图。图中大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得
勾股和2＝4×勾股积＋勾股差2。
由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。
宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以X（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程
x2+ax=b，
其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达式的可能性。
在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约780—约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元十六世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。
体积理论和刘徽原理
如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：
由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得。
由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而是极其困难的问题。欧洲直到十九世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特（1862—1943）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为二十三个问题之一。这一问题立即为德恩（1878—1952）所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。
在这种情势下，看看中国古代对这一问题的处理方式是不无有启发性的。
《九章》以至《刘注》解决体积问题的出发点是把一般的多面体分解为一些基本的立体。先把一长方体斜剖为二，如下图（1），得两堑堵（堑堵是两底面是直角三角形的正柱体）。再把堑堵斜剖为二，如上图（2）；一个是阳马（阳马是直角四棱锥体），如上图（3）；一个是鳖?（鳖?是四面都是勾股形的四面体），如上图（4）。其中鳖?的特征是AB和平面BFG垂直，FG和平面ABF垂直。由于任一多面体可以分割为四面体，而任一四面体可以分割为六个鳖?，如下图，所以问题归结为求鳖?（以及阳马）的体积。依刘徽原话，就是所谓阳马、鳖?，“功实之主也。”
其次的问题是怎样求得阳马和鳖?的体积。如果长方体成为立方体，那么分解所得的阳马的体积是鳖?的两倍。刘徽作了长篇的分析，得出结论是：这个论断普遍成立。用刘的原话是：“阳马居二，鳖?居一，不易之率也。”我们把它称作：
刘徽原理 斜解一长方体，所得阳马和鳖?的体积的比恒是二比一。
从这一原理容易得到鳖?和阳马的体积公式。由此又容易得到（2）式，因而整个多面体的体积理论可奠基于刘徽以及出入相补这两个原理之上。
刘徽对他的原理有详细的分析说明，实际上就是这一原理的证明。按希耳伯特和他的后继者的研究指出，体积理论和面积理论不同，出入相补原理之外，必须辅以连续一类公理。也有人（例如沙顿诺斯基，1903年）提出排除连续公理，直接应用（2）式作为建立体积理论的基础。但是这样就要先证明（2）式中高和底面积的乘积凡四都彼此相等，这既不明显也不简单，似不如刘徽原理和出入相补原理的显豁自然。
总之，多面体的体积理论到现在还余蕴未尽，估计中国古代几何中的思想和方法或许对进一步的探讨还不无帮助。
羡除公式
《九章》中列举了各种多面体的体积，依据的就是出入相补原理和阳马、鳖?公式。现在以羡除即隧道（羡除是三个侧面不是长方形而是梯形的楔形体，见上图）为例，图中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整个隧道依剖面IJK对称。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的长，CD、EF、AB各称上广、下广、末广。《九章》给出的公式是：
《刘注》的证法是先把羡除分解，如在上图中CD＞AB＞EF的情形，分解成一个堑堵EFGHLM，两个小鳖?AGEL和BHFM，两个不正规大鳖?ACEG和BDFH，再应用堑堵、鳖?公式和上一节公式（2），就得到这一公式。这一方法在《九章》中用来求得例如刍甍（楔形体）、刍童、盘池、冥谷（是各种棱台）等多面体的体积公式。
如果依IJK剖面取羡除的一半，所得IJKACE如下图是一斜截直柱体，是把一个以勾股形为底面的直柱体斜截而成，它的体积是三高平均值和底面面积的积。因由任意曲面所围成的立体可以看作近似地由这样的斜截直柱体构成，所以据此可以得出函数f（x，y）的积分近似公式，犹之微积分中求曲线下面积的辛普森积分近似公式。因而羡除公式具有重要意义。
在西方，斜截直柱体的体积公式最早见于1794年勒让德（1752—1833）所著《几何原理》一书，因此也称为勒让德公式。按勒让德的书是从欧几里得《几何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有关公式的证明同样依据四面体体积公式，但是它的分解方法和《刘注》不同。
此外某些多面体西方也有不同的分解法和证法，不妨中外参照，加以比较。
球体积和祖暅原理
从《九章》到《刘注》，我国对多面体的体积已经建立了相当完整的理论体系。但是对于曲面围成的立体，特别是球的体积问题，却遇到了困难。
这一球体积问题，直到南北朝时期祖暅才完全解决，为此并且提出了所谓祖暅原理 幂势既同，则积不容异。
这一原理在公元十七世纪由意大利数学家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重见于欧洲，成为微积分得以创立的关键性的一步。
祖暅关于球体积公式的证明见于《九章》的唐李淳风注，论证极其详细清晰。证明分三步：
第一，在一立方体中依两不同方向作两内切圆柱体，它的共同部分称“牟棋”。依祖暅原理可得：
高处截面积的和跟阳马同高处的截面积相等。
第三，再应用祖暅原理，知三外棋体积的和跟阳马体积相等。
由阳马的体积公式，就可从上述三步得球体积公式。
按牟合方盖是刘徽所引入的，第一步的结果实质上也已经为刘徽所求得。事实上，在《刘注》中，他已经多次应用了祖暅原理来求曲面围成立体的体积，例如从方堡?（长方体）求圆堡?（圆柱），从方锥求圆锥，从方亭（正方台）求圆亭（圆台），都已经使用这方法。祖暅的功绩，不仅在于具体求出了牟合方盖因而求出球的体积，更在于把实际上已知并且已经广泛应用的实践经验总结提高到一般原理的形式。是否应该把祖暅原理改称为刘祖原理，是可以商讨的。
从祖暅原理可以立即得出前面讲到的刘徽原理，因而多面体的体积理论也可以建立在出入相补原理和祖暅原理这两个浅显易明的基本原理之上。在欧洲，直到希耳伯特的《几何基础》问世以后，二十世纪初年，才有人（例如绪思）考虑依卡瓦列里原理以建立体积理论的问题。
其 他
《九章》中有丰富的几何学内容，即使局限于出入相补原理，除了已经见于前面各节的以外，也还有一些成果为我国数学以后发展的重要出发点。例如所谓勾股容圆问题，在李冶的《测圆海镜》中已经有了很大的发展。又如前面提到过的所谓方城问题，在秦九韶、李冶等的著作中已经把方城改成了圆城，就是旧有方法所不能解的。为此宋元时期创立了所谓天元术一类新的理论和方法，不仅可以用来解决许多新问题，对老的问题（所谓古问）也提供了新的有力工具，和老的方法（所谓古法）相比可以“省功数倍”。这些新理论新方法的实质在于几何的代数化，乃是解析几何的前奏，也是近代代数学的前驱。
总 结
出入相补、刘徽、祖暅等一般原理的建立，说明我国古代学者具有高度的抽象概括能力，善于在深入广泛的实践基础上往高里提。这些原理之简单易明正可和它们应用之广互相辉映。这是我国古代数学的一种独特风格，着重在问题的解决以及解决的一般方法和一般原理原则，同样的风格也可见之于几何的代数化、位值制记数法等等。这和西方数学之偏重于概念和概念之间的相互逻辑关系，是异其旨趣的。
我国数学经典著作散佚的多而保存的少，就像祖暅原理，也只靠李淳风一注才得以留传下来。像这一类重要成果而失传无从查考的，当不在少数。尽管如此，只从留传至今的典籍看来，我国数学的生产实践方面的渊源和发展演变的线索，仍旧很分明，参见下页两个附表。
漫谈有理数
在小学里，同学们学习了自然数、零和分数，现在，又学习了负数。这些数统称为有理数。但是，你想过没有，有理数是怎么产生的？
很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和水里的鱼，终年靠狩猎为生。那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题。开始，人们只是以”多”和“少来区分。渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数（shu）数，因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平。再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数。周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代。又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字。例如，公元前三、四千年我国西安的半坡遗址和公元前近二千年的二里头遗址的陶文中，就有| || ||| ||||× 或X ∧ 或个 + 八 + |等符号，它们分别表示
1 2 3 4 5 6 7 8 70。
在殷墟的甲骨文卜辞中，也有许多数字（参见《中国数学的世界之最》一文）。在国外，大约在公元八世纪有一种印度的数字传入阿拉伯，它们是：
? ∧ ∨ 10。等等，它们分别表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．这种数字后来由阿拉伯传人欧洲，被欧洲人称作阿拉伯拉字。这些数字符号，在使用过程中经人们不断的改进，最后演变成现在我们所使用的数字。
数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便。但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创法了十进位置制记数法以后，才最终得到圆满的解决。
打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获二头羊。如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，这也是中国人首创的。《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年。我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话。
人类对零的认识比较晚。打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有。在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示。后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了。
正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”。
在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”。但学习了《有理教》的知识以后，我们就能解决这个问题了。有理数包括正数、负数和0。正负效的概念也是从生产实际的需要中产生的。生产发展了，一方面，人们的“财富”多起来，同时也促使人们“互通有无”，进行交换。于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负... ...人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念。负数是相对于正数而言的。正数和负数既相互对立，又相互依存。我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件具有世界意义的重大创造。
由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充。目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：
高考数学冲刺辅导：导数中档题是拿分点
导数中档题是拿分点
近几年导数的高考试题主要有下面几种类型：
1.单调性问题
研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。
2.极值问题
求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在xx0时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时， 在x=x0处也可能有极值，例如函数f(x)=x在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=x有极小值。
还要注意的是， 函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的定义域内。
3.切线问题
曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。关于切线方程问题有下列几点要注意：
(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程;
(2)和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线;
(3)两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等;另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。
4.函数零点问题
函数的零点即曲线与x轴的交点，零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时要用图像帮助思考，研究函数的极值点相对于x轴的位置，和函数的单调性。
5.不等式的证明问题
证明不等式f(x)≥g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值等于零;而证明不等式f(x)>g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于零，或者证明f(x)min≥g(x)max、f(x)min>g(x)max。因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大(小)值问题。
高考数学易考易错点总结
1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的?
2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化?是否保证等价转化?
3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一?
4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身”进行的?
5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)?在集合运算时是否注意空集和全集?
6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗?
7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定义域了吗?
8.映射的概念你了解吗?对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素)?
9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论)?
10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了?
11.“三个二次”的关系你清楚吗?(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论?
12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗?是否能利用数列性质解题?
13.你还记得三角变换化简的通性通法吗(“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等)?
14.利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件?如果等号取不到经常采用哪些办法(利用单调性、配凑、图像法等)?
15.分式不等式的一般解法是什么(移项、通分、合并同类项、分式化整式)?
16.理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗?在设直线方程解题时是否忽略斜率不存在的情况?
17.直线的'截距概念如何理解(截距可以是正数、负数、零)?
18.会求球面距离吗?它的基本类型有哪些?你能把它们转化为熟悉的图形吗(经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角)?
19.排列、组合应用问题的解题策略有哪些?(特殊元素优先安排、合理分类准确分步、混合问题先选后排、正难则反等价转化、相邻捆绑不邻插空、分排问题直排处理、定序问题除法处理、分配问题列表隔板、取与不取用组合数、分堆问题没有顺序)
20.过定点的圆切线方程的求法你清楚吗(首先判断定点与圆的位置关系，如果在圆上，直接利用公式;如果在圆外，可由代数法列方程组求解，也可由几何法圆心到直线的距离等于半径列等式求解)?
21.圆的弦长的求法你清楚吗(代数法、几何法)?
22.能区分互斥事件和相互独立事件(事件A或B是否发生对于事件B或A发生的概率没有影响)吗?
23.解答选择题、填空题的特殊方法是什么?(数形结合、特值<含特殊值、特殊位置、特殊图形>、排除、验证、转化、分析、估算、极限等)
24.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，在它们的统一定义里清楚常数e的含义。掌握一些常用的求轨迹方程的方法并注意验证，会用定义法判断动点轨迹是什么曲线吗?
25.能尽量多地记住圆锥曲线中的一些重要的点(如焦点、顶点)、线段(如长<实>半轴、短<虚>半轴、半焦距、焦准距、焦半径、通径)、线(如准线、渐近线)、图形(如a,b,c的直角关系三角形、焦点三角形、直角梯形)及结论(如焦点弦、焦点三角形的面积公式)的含义并加以灵活运用吗?
26.在直线与圆锥曲线的存在性或范围问题的处理时，是否注意对联立消去参数之后的方程的二次项系数、判别式等进行讨论?是否也能想到利用曲线变量本身的范围进行求解(如椭圆的有界性)?
27.采用不同的抽样方法从总体中抽取相同容量的样本各个体被抽到的概率相同吗?(相同，可自行证明)
28.会用数学归纳法证明一些简单的数学命题吗?证明的一般步骤是什么(归纳、猜想、证明<先设n=c时，命题成立;再设n=k,k≥c时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立>)?
29.能用定义说明函数是否连续吗?
30.两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小。会用两个复数相等的充要条件解题吗(实部和实部相等、虚部和虚部相等)?
31.清楚导数的物理意义和几何意义吗?函数连续与函数可导有什么联系(可导一定连续，但连续不一定可导)?
32.了解复数的代数表示和几何意义。能区分好复平面与平面直角坐标系吗?
33.高中阶段都遇到了哪些角的范围，你能分清楚吗?(1)直线与直线平行时为0;(2)直线与直线相交时夹角的范围是(0,π/2]，到角的范围是(0,π);(3)两异面直线(含垂直)所成角的范围是(0,π/2];(4)两非零向量所成角的范围是[0,π];(5)直线与平面所成角的范围是[0,π/2];(6)斜线与平面所成角的范围是(0,π/2);(7)二面角的平面角的范围是[0,π]。
34.在证明空间位置关系和求距离的时候除了直接法以外是否能利用转化法或向量法?
35.反三角函数表示角只能是特定区间上的角，你能用反三角函数表示任意区间上的角吗?
36.向量是既有大小又有方向的量，不可比较大小。如何进行向量运算?
37.数量积的几何意义是什么?数量积的运算率你清楚吗(交换率、分配率)?
38.在解三角问题时，你是否注意到三角函数的定义域、有界性、周期性等，是否能利用图像对三角函数问题进行分析?在条件求值问题中是否注意角的范围讨论?
39.图像按向量平移的本质是什么(实际上就是点的平移，简言之向量的坐标等于终点<目标函数>坐标减去起点<原函数>坐标)?
40.不等式有哪些重要性质?其中哪些性质在应用的时候要注意限制条件(可乘、累乘、乘方、开方)?
41.能区分互斥事件(A,B两事件不可能同时发生)和对立事件(A,B两事件不可能同时发生，但必有一个发生)吗?
42.解答探索性问题时要注意思维的广度，注重知识间的联系，善于运用数学思想解题，一般分猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型几种基本题型。
43.求数列通项公式的技巧有哪些(观察、公式、作差、作积、构造等)，是否验证每一项都满足所求因式了?数列求和时是否先对通项公式加以分析?
高中数学学习方法：学数学就像吃牛轧花生糖
为了帮助学生们更好地学习高中数学，精心为大家搜集整理了“高中数学学习方法：学数学就像吃牛轧花生糖”，希望对大家的数学学习有所帮助！
高中数学学习方法：学数学就像吃牛轧花生糖
高三数学怎么学？其实，这是一个吃“牛轧花生糖”的过程。我想借用这5个字“牛、轧(同音“扎”，即扎实)、花生(谐音“化生”，即数学解题中的“化生为熟”策略)糖(甜蜜)”，来谈谈我对大家学习高三数学的建议。
提起“牛”，人们会说牛气冲天、老黄牛、牛劲。是的，我们学习就是要一股牛气，要有一股初生牛犊的精神，要有牛气冲天的干劲，要不畏难、不怕苦，要勤于思考、敢于实践，要把自卑心理一扫而光，代之而起的是高涨而持续的学习热情。
牛在紧要关头不仅有冲劲，在平时耕田拉车中还特有韧劲，我们特别需要能长久维持的韧劲，它是我们成功的必要条件，有了这股韧劲，就能克服一切困难，集中精力，发奋读书，即使身体小有不适，也能尽量坚持学习，这是对自己意志的考验。
“轧”音同 “扎”，寓意是学习要扎实。数学学习的扎实表现在：
(1)不满足于听懂、看懂，关键要能准确地书写表达出来，还要能举一反三，否则，没有真懂。
(2)运算要既快又准。速度慢了不行，但算错了更不行！
要做到这两条，必须在课堂上认真听讲、用心思考、勤于演算、善于笔记。在课后还要通过一定数量模仿性练习、提高性练习等高质量作业才能牢固掌握，做作业不互相对答案，不抄袭，遇到不懂问题可以相互讨论，但懂了以后自己再独立做。还要自觉学会归纳解题成功的经验和总结失败的教训，做到吃一堑，长一智。
花生的果实生长在地下，默默地被大地滋润着，直到成熟才离开土地，营养价值极高。滋润着学生成长的是国家以及你们的父母和老师。
“花生”的“生”单独字面有陌生、生疏的意思，“花”有相间的意思，此处借用“花生”是想说在学习过程中会时常出现一些新的问题和困难，这需要我们正确的态度去对待，是强调基础差、问题难，还是知难而进，用心思考，不耻下问，是对每个同学学习毅力的考验。
“花生”的谐音是“化生”，借指数学中常用的方法——化生为熟。这是数学学习中解决问题的一条重要途径，是学会分析问题和解决问题的重要方法。
糖是大家喜欢的食品，它给我们辛苦的学习带来一丝甜意，我希望大家在繁重的学习间隙，可以唱支歌、跳曲舞来调节生活，来体验学习的甜蜜，预示同学们三年高中生活有一个甜美的结果。但是大家知道，葡萄在成熟之前是不甜的，这预示着，在我们最后几个月的学习中可能会有很多感触，那种时而忽然开朗，眼前一片光明，时而百思不解，眼前一片黑暗，那种纠结、烦躁、甚至愤怒，没有亲身经历的人是难以体会的！这样的经历是一个人成长、成熟所必须经历的，我们只能面对，没有逃避的余地，这或许是“先苦后甜”的深刻含义吧。
吃了今天的“牛轧花生糖”，我相信今后你们学习信心更大，克服困难的意志更坚强，解决问题方法更多，成绩提高得更快，明天的日子会更甜！
经过精心的整理，有关“高中数学学习方法：学数学就像吃牛轧花生糖”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快！
父与子
阿诺德、巴顿、克劳德和丹尼斯都是股票经纪人，其中有一人是其余三人中某一人的父亲。一天，他们在证券交易所购买股票的情况是：
（l）阿诺德购买的都是每股3美元的股票，巴顿购买的都是每股4美元的股票，克劳德购买的都是每股6美元的股票，丹尼斯购买的都是每股8美元的股票。
（2）父亲所购的股数最多，他花了72美元。
（3）儿子所购的股数最少，他花了24美元。
（4）这四个人买股票总共花了161美元。
在这四个人当中，谁是那位父亲？谁是那位儿子？
（提示：根据（1）和（4）列出一个方程。依次假定某个人是那位父亲或者是那位儿子，则这个人买了多少股？如果一个数是方程中五项中四项的因数，则它必定也是第五项的因数。)
答 案
设
a为阿诺德所购的股数，
b为巴顿所购的股数，
c为克劳德所购的股数，
d为丹尼斯所购的股数。
于是，根据（1）和（4），就这四人购买股票总共所花的钱可写出方程：
3a+4b+6c+8d=161。
假定阿诺德是那位父亲，则根据（1）和（2），他买了24股；假定巴顿是那位儿子，则根据（1）和（3），他买了6股。如此等等，共有十二种可能，列表于下。
父亲（花了72美元）
儿子（花了24美元）
a=24
b=6
a=24
c=4
a=24
d=3
b=18
a=8
b=18
c=4
b=18
d=3
c=12
a=8
c=12
b=6
c=12
d=3
d=9
a=8
d=9
b=6
d=9
c=4
注意：（A）a、b、c、d都是正整数，（B）如果一个整数能整除一个具有五个项的方程中的四项，则它也一定能整除其中的第五项。
根据上述的（B），a不能等于24或8，因为161不能被2整除。如果d等于3则b不能等于18，如果b等于6则d不能等于9，因为161不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。
如果d＝9，c＝4．则3a+4b=65.这样，a或b要大于9，从而与（2）矛盾。如果c=12，b＝6则3a+8d=65。这样，a或d要小于6,从而与（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。
如果b＝18，c＝4．则3a+8d=65。3a必须是奇数，因为8d是偶数而65是奇数（偶数乘以任何整数总得偶数，偶数加上奇数总得奇数）。
于是，a必须是4和18之间的一个奇数（奇数乘以奇数总得奇数）。这里唯一能使d取整数的是a＝11。这意味着d=4，但这与（3）矛盾。因此，V被排除。
剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克劳德是那位父亲，丹尼斯是那位儿子。
通过进一步分析，可以得出a、b、c、d的两组可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根据与前面同样的推理，a必须是3和12之间的一个奇数。这里能使b取整数的只有a=7和a=11。于是得到这样两组可能的值：
a=7
a=11
b=11
b=8
c=12
c=12
d=3
d=3
名师导学：高考数学首轮复习五项建议
古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。伴随着奥运会的如火如荼，新一届高三生们的集训也即将拉开序幕。他们的处境有些尴尬，一边是世界瞩目的盛事，一边是关乎前途命运的决战。这个暑假想必充满了矛盾和犹豫。那么开学在即，就让我们放下暑期的思想包袱，重新调整好状态，准备迎战。首先来看看关于高考首轮复习，专家是如何建议的。
高考复习有别于新知识的教学，它是在学生基本掌握了中学数学知识体系，具备了一定的解题经验的基础上的复课数学；也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课教学。实际上，高考这一年数学复习工作概括起来就三句话：澄清概念（思维细胞）；归纳方法（何时用，用的要领）；学会思考。在此向进入数学第一轮复习的同学提五项建议：
一、夯实基础，知识与能力并重。
没有基础谈不上能力；复习要真正地回到重视基础的轨道上来，搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。
二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。
培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。
学习好数学要抓住“四个三”：1.内容上要充分领悟三个方面：理论、方法、思维；2.解题上要抓好三个字：数、式、形；3.阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化（文字语言、符号语言、图形语言）；4.学习中要驾驭好三条线：知识（结构）是明线（要清晰），方法（能力）是暗线（要领悟、要提练），思维（训练）是主线（思维能力是数学诸能力的核心，创造性的思维能力是最强大的创新动力，是检验自己大脑潜能开发好坏的试金石。）
三、讲究复习策略。
在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大的“综合题、探究题”，复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念，抓住问题的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景、设问的角度改变了一下，因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。
数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的的，其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。
要精选做题，做到少而精。
只有解决高质量的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果，然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要在老师的指导下来选择复习的练习题，以了解高考题的形式、难度。
要分析题目。
解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。相对于比较难的题目，分析更显得尤为重要，我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。例如，许多三角方面的题目都是把角、函数名、结构形式统一后就可以解决问题了，而选择怎样的三角公式也是成败的关键。
四、加强做题后的反思。
学习数学必须要做题，做题一定要独立而精细，只有具备良好的反思能力，才谈得上精做。做题前要把老师上课时复习的知识再回顾一下，对所学的知识结构要有一个完整的清楚的认识，不留下任何知识的盲点，对所涉及的解题方法要深刻领会、做题时，一定要全神贯注，保持最佳状态，注意解题格式规范，养成良好的学习习惯，以良好的心态进入高考。做题后，一定要认真反思，仔细分析，通过做几道相关的变式题来掌握一类题的解法，从中总结出一些解题技巧，更重要的是掌握解题的思维方式，内化为自己的能力，并总结出对问题的规律性认识和找出自己存在的问题，对做题中出现的问题，注意总结，及时解决，重点一定要放在培养自己的分析问题和解决问题的能力上。
注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。
解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与结论间的差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。
注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。
如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足，这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的，其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析、联想等数学思维方法运用之所得。
调整思路，克服思维障碍时，注意数学方法的运用。
通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切、结论易求；化一般为特殊、化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试，分析、归纳、类比等数学思维方法；数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器和指南。
注意数学思想的运用。
用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通、引申推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性，对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源，丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与议程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会，对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结：
1. 在知识方面
题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。
2. 在方法方面
题目是如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。
3. 在解题步骤方面
能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。
五、高考主干知识八大块：
1.函数；2.数列；3.平面向量；4.不等式（解与证）；5.解析几何；6.立体几何；7.概率、统计；8.导数及应用。要做到块块清楚，不足之处如何弥补有招法，并能自觉建立起知识之间的有机联系，函数是其中最核心的主干知识，自然是高考考查的重点，也是数学首轮复习的重点。函数内容历来是高考命题的重点，试题中占有比重最大，在数列、不等式、解析几何等其他试题中，如能自觉应用函数思想方法来解题也往往能收到良好的效果。因此，掌握函数的基础概念，函数的图像与性质的相互联系与相互转化；掌握函数与方程、函数与不等式、函数与导数、函数与数列等知识的交汇与综合是数学首轮复习的重中之重。
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