数学解题方法

　　解题之同一法

数学解题方法

　　互逆的两个命题未必等效.但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效.这个道理通常称为同一原理.

　　对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立.这种证明方法叫做同一法.

　　同一法常用于证明符合同一原理的几何命题.应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：

　　第一步：作出符合命题结论的图形.

　　第二步：证明所作图形符合已知条件.

　　第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合.

　　第四步：断定原命题的真实性.

　　解题之数学模型法

　　例(哥尼斯堡七桥问题)18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇合后流入波罗的海.市内办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸.每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光.年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地?

　　数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.

　　利用数学模型法解答实际问题(包括数学应用题)，一般要做好三方面的工作：

　　(1)建模.

　　根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型.从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法.建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：

　　1、考察实际问题的基本情形.分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量;了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统.

　　2、分析系统的矛盾关系.从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系.

　　3、进行数学抽象.对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系.如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型.

　　(2)推理、演算.

　　在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果.

　　(3)评价、解释.

　　对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答.

　　例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少?

　　例2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d正比于车速v(千米/时)的平方与车身长(米)的积，且车距不得小于半个车身长.假定车身长为l(米)，当车速为60(千米/时)时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定臬的车速成，可使隧道的车流量最大?

　　例3、(1998年保送生综合试题)渔场中鱼群的最大养殖为m吨.为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲的乘积成正比，比例系数为K(K>0)，写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域.求鱼群年增长量的最大值.

　　解题之数形结合法

　　数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义.理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力.

　　数和形这两个基本概念，是数学的两块基石.数学就是围绕这两个概念发展起来的.在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化.

　　数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.

　　中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题;二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题.就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等;后者常用的方法主要是图解法.

　　解题之判别式法

　　实系数一元二次方程

　　ax2+bx+c=0 (a≠0) ①

　　的判别式△=b2-4ac具有以下性质：

　　>0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根;

　　△ =0，当且仅当方程①有两个相等的实数根;

　　<0，当且仅当方程②没有实数根.

　　对于二次函数

　　y=ax2+bx+c (a≠0)②

　　它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：

　　>0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点;

　　△ =0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点;

　　<0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点.

　　利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的`根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用.

　　在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式.

　　解题之换元法

　　“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答.

　　在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法.

　　用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t).就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧.

　　例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：(1)全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质;(2)力求减少变量的个数，使问题结构简单化;(3)便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系.只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换.

　　换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用.

　　解题之分析法与综合法

　　分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用.

　　在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法.通常把前者称为分析法，后者称为综合法.

　　具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件;综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题.

　　解题之分类法

　　分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义.

　　不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果.这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法.

　　用分类法解题，大体包含以下几个步骤：

　　第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A;

　　第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，…An;

　　第三步：在子集A1，A2，…An内逐类讨论;

　　第四步：综合子集内的解答，归纳结论.

　　以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作.从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等.在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件. 例1：求方程的实数解，其中a为实参数.

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数学解题方法07-30