小学数学难题解法大全之如何巧妙解题方法
巧记分数化小数的结果
记熟一些分数化小数的结果，对提高分数、小数四则运算和分数化小数的速度有很大帮助。
0.75，这几个分数比较常见易记。其他的只要找到窍门，记熟也不难。
分母是5的最简分数：把分子乘以2，再缩小10倍。
分子是1，分母是大于5的质数，可以用下面的方法：
把分子1化为0.9999……，直到依次把9“除尽”，商便是循环小数。例如：
由于被除数各位上的数都是9，减积时不需要退位，就能使计算比较简便。
如果分子不是1，可先把分子是1的分数化为循环小数，再乘以原来的分子。例如：
乘以原来的分子得：
(如图)分子是1，就从这六个数字中 最小的一个起排六个数字;分子是2，就从这六个数字中第二小的一个起排六个数字，依此类推。分母是8的最简分数：分子是1，小数的第一位也是1;分子是3，小数的第一位也是3。即
分母是9的最简分数：它的结果都是一个循环小数，循环节的数字和分子的数字相同。
分母是10的最简分数：把分子缩小10倍即可。
分母是20的最简分数：把分子扩大5倍，再缩小100倍。
分母是25的最简分数：把分子扩大4倍，再缩小100倍。
分母是50的最简分数：把分子扩大2倍，再缩小100倍。
根据分数单位的小数值，用乘法把分数化成小数。比用除法简捷。
不难发现，这些题的商，全部是循环小数，1÷11的商的循环节是09，2÷11商的循环节是2个9，即18，3÷11商的循环节是3个9，即27……”。这样，你只要看到题目，根据规律，马上就可想出它们的商。
例如，7÷11，它的商是循环小数，循环节是7个9，即63。
被除数超过10，可分两步思考：
第一步是先用口算求出商的整数部分;第二步是再看求出商的整数部分后的余数是几，根据余数写出商的循环节。
例如，72÷11，先求商的整数部分是6，再看它的余数是6，可断定
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（六）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧求最大公约数
(1)列举约数法
例如，求24和36的最大公约数。
显然(24，36)=12.
(2)分解质因数法
就是先把要求最大公约数的那几个数分别分解质因数，然后把这几个数公有的质因数相乘，所得的积就是要求的最大公约数。
例如，求12、18和54的最大公约数。
所以(12，18，54)=2×3=6.
(3)除数相除法(短除法)
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到所得的商只有公约数1为止，再把所有的除数连乘起来，乘得的积就是所求的最大公约数。
例如，求24、60和96的最大公约数。
所以(24、60、96)=2×2×3=12.
(4)应用相除法
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到商只有公约数1为止。然后用被除数除以商。
例如，求36和54的最大公约数。
(5)辗转相除法
也称欧几里得除法。
就是用大数除以小数，如果能整除，小数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用小数除以第一个余数，如果能整除，第一余数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用第一个余数除以第二个余数，如果能整除，第二个余数就是所求的最大公约数，如果不能整除，再像上面那样继续除下去，直到余数为0为止，最后的那个除数就是所求的最大公约数。如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数。
例如，求621和851的最大公约数。
则(621，851)=23.
(6)辗转相减法
在求几个数的最大公约数时，可从任一大数中减去任意小数的任意倍数，同时作几个减法。
理论根据：
定理1：如果甲、乙二数的差是乙数，那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。
即：如果a-b=b，那么(a，b)=b。(本文字母都是自然数)
证明：∵a-b=b，
∴a=2b，即 b|2b→b|a.
又∵b|b，∴(a，b)=b.
定理2：如果两个数的差不等于零，那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的最大公约数。
即：如果a-b=c(a>b)，
那么(a，b)=(b，c).
可理解为差与小数成倍数关系，差就是所求的最大公约数;如果差与小数不成倍数关系，差与小数的最大公约数就是所求的最大公约数。
∵a-b=c，
因此t是b、c的公约数。
又设(p2，p1-p2)=m(m>1)，则
故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。说明t不但是b、c的公约数，而且是最大公约数。即：
(b，c)=t，
∴(a，b)=(b，c).
例如，429-143=286，
∴(429，143)=(143，286).
又∵143|286，
∴(143，286)=143.
因此(429，143)=143.
根据上面的两个定理求(a，b).
设a>b，
①当 b|a时，则(a，b)=b.
②当b a时，则a-b=p1，即(a，b)=(b，P1).
其中当P1|b时，则(b，P1)=P1.
当P1 b时，则b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2).
……
照此依次减下去，被减数、减数在逐渐减小，差也随着相对减小，最后必能得到一个ppn=0。这时pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1.由此得出：
(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1.
这种方法称辗转相减法。
实例说明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍减去3的4倍一定还是3的倍数，得3的3倍，然后用3的4倍减去3的3倍结果是3的1倍。因此(21，12)=3.
应用中贵在灵活。求解过程中，可随时截取判断。
例1 求1105和1547的最大公约数。
1547-1105=422， (1)
1105-422×2=211， (2)
422-221=211， (3)
211-211=0. (4)
没必要辗转相减到最后，由式子(2)知221与442成倍数关系，则(1105，1547)=221.
例2 求971和 601的最大公约数。
∵971-601=370， (1)
601-370=231， (2)
370-231=139， (3)
231-139=92， (4)
139-92=47， (5)
……
1-1=0，
∴(971，601)=1.
由(5)式可知(92，47)=1，便可断定
(971，601)=1.
例3 求27090、21672、11352和8127的最大公约数。
用这种方法约简分数、判断互质数等。例略。
(7)小数缩倍法
就是求两个数的最大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、3、4……，直到除得的商是较大数的约数为止，那个商就是所求的最大约数。
例如，求45和75的最大公约数。
45÷3=15，15|75，则(45，75)=15.
(8)差除法
如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。
已知a-b=c，且c|b(a>b).
求证(a，b)=c.
证明：由 c|b，设 b=cq.
于是 a=b+c=cq+c=c(q+1).
在a=c(q+1)和b=cq中，
因为(q+1，q)=1，
所以(a，b)=c.
例如，求91和98的最大公约数。
∵ 98-91=7， 7|91，
∴(91，98)=7.
(9)倍差除法
当出现找出的差不能整除小数时，把小数再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的数减去大数的差去除小数。
例4 求112与420的最大公约数。
112×4=448， 448-420=28，
28|112，
则(11，420)=28.
例5 求168与630的最大公约数。
168×4=672， 672-630=42，
42|168，
则(168，630)=42.
能够这样解的依据是什么呢?现证明如下(字母均为自然数)。
如果nb-a=c，c<B
那么(a，b)=c.
证明：设t是a，b的公约数，则t|a，t|b，
∴nb-a=c，且c<B
∵t|nb，t|c，
因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。
同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。即：
(a，b)=(b，c).
又∵c|b，
∴(a，b)=(b，c)=c.
或用差的从大到小的因数试除。
例6 求161和115的最大公约数。
161-115=46.
∵46 115，
而23|115，
∴(161，115)=23.
例7 求95和152的最大公约数。
∵ 95×2-152=38，
且38 95，
但19|95，
∴(95，152)=19.
这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。
例8 求217，62和93的最大公约数，
因为217-62-93=62，
且31|62、31|93，
所以(217，62，93)=31.
例9求 418、494和 589的最大公约数。
因为494-418=76，76 418，
418-(76×5)=38，38|76，
则(418，494)=38.
而589-(38×15)=19，19|38，
所以(418，494，589)=19.
例10 判断255和182是否互质。
255-182=73，73 182，
182-(73×2)=36，36 73，
而73-(36×2)=1，
所以(255，182)=1，即为互质数。
4862-2618=2244，
2618-2244=374，374|2244，
(10)分数法
把求最大公约数的两个数，写为真分数，逐次约成最简分数。原分数的分子(或分母)除以最简分数的分子(或分母)，商就是最大公约数。
例如，求24、30和36的最大公约数。
则(2430)=6.
则(6，36)=6.
所以(24，30，36)=6.
(11)用商法
例如，求64与48的最大公约数。
先把两个数写成除法的形式，大数作被除数，小数作除数(除数为大于1的自然数)。所得的商写成最简分数。
这两个数的最大公约数等于除数除以商的分母。即：48÷3=16，∴(64，48)=16.
如果，两个数相除，商为整数，那么，这两个数的最大公约数是除数。
这种方法也适用于求两个以上的数的最大公约数。例如，求36、30和20的最大公约数。
所以(36，30，20)=2.
(12)利用等式关系
利用(am，bm)=m(a，b)。
例如，求36与54的最大公约数。
(36，54)=(18×2，18×3)
=18(2，3)=18.
利用(an，bn)=(a，b)n.
例如，求64与216的最大公约数。
(64，216)=(43，63)
=(4，6)3=23=8.
利用若(a，b)=1，则(ac，b)=(c，b).
例1 求46与253的最大公约数。
(46，253)=(46，11×23)
=(46，23)=23.
例2 求12，286的最大公约数。
(12，286)=2(6，143)
=2(6，11×13)=2(6，13)=2.
例3 求245、315和560的最大公约数。
(245，315，560)=5(49，63，112)
=5(49， 63， 28×4)=5(49，63，28)
=5×7(7，9，4)=35.
(13)口诀查找法
就是用乘法口诀对照求最大公约数的那几个数，看哪个因数是求最大公约数的那几个数的约数，再进一步判断那个公约数是不是所求的最大公约数。
例如，求56和72的最大公约数。
看56与72，立即想到乘法口诀“七八五十六”与“八九七十二”。8是56与72的公约数，56的另一个约数7与72的另一个约数9成互质数，所以公约数8就是56与72的最大公约数。
(14)特征心算法
根据求最大公约数的那几个数所具有的能被某些数整除的特征确定。
例如，求24和30的最大公约数。
根据24和30能同时被2整除的特征，记下2;
再根据24和30还能同时被3整除，记下3;
由2乘3得6，24与30分别除以6的商分别是4与5，4与 5互质，则(24，30)=6.
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（五）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧判断能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273约的数
能被4约：末尾两位数是0或能被4约的数。例如36900，987136。
能被6约：既能被2约又能被3约的数。例如114，914860。
能被8约：末三位是0或能被8约的数。例如321000，5112。
能被9约：能被9整除的准则以下列的事实为基础，即在十进系统中，1以后带几个零的数(即10的任何次幂)在被9除时必然得出余数1。实际上，
第一项都是由9组成的，显然能被9整除。因此，10n被9除时必然得余数1。
然后，我们再看任意的数，例如4351。一千被9除得余数1，于是四千被9除得余数4。同样，三百被9除得余数3，五十被9除得余数5，还余下个位数1。因而，
4351=能被9整除的某一个数+4+3+5+1
如果“尾数”4+3+5+1(它是该数的各位数字之和)能被9整除，那么，整个数也能被9整除。因而可得到结论：如果某一个数的“各位数字的和”能被9整除，那么这个数也能被9整除。例如 111222，8973。
9的倍数除以9，其商有如下特点：
被除数是两位数，商是被除数尾数的补数，即补足10的数。
例如 63÷9=7，3的补数是7。
被除数是三位数，商首同尾互补。
例如
被除数是四位数，商的中间数字是被除数前两位数字之和。
被除数是五、六位数……原理同上。商的第二位数字是被除数前两位数字之和，第三位数字是被除数前三位数字的和……
能被7约∶70以内的两位数能否被7约一目了然，大于70的两位数只要减去70也就一清二楚了。
三位数，只要把百位数字乘以2加余下约数，和能被7约这三个数就能被7约。例如812，
(8×2+12)÷7=4。
百位数字乘以2，是因为100除以7得商14余2，即每个100余2，把它放到十位数里。
四位数，只要在百位数的.计算方法上减去千位数字。因为1001能被7约，即1000要能被7约还缺1，有几个1000应减去几。例如1820，
(8×2+20-1)÷7=5。
能被11约：
奇偶位数差法：一个数奇位上的数字和与偶位上的数字和的差(大数减小数)是0或11的倍数的数。
例1 3986576
(6+5+8+3)-(7+6+9)
=22-22=0，
则11|3986576。
例2 9844
(9+4)-(8+4)
=13-12=1，
则 11 9844。
小节法：把判断数从个位起每两位分成一小节，最后的不足两位数也当作一节。只要看各小节之和是否有约数9或11。
例3 2879503
03+95+87+2
=187=11×17，
即11| 2879503。
例4 1214159265
65+92+15+14+12
=198=2×9×11，
即9|1214159265，11|1214159265。
能被7或11或13约的数一次性判断法：
那么要判别N能否被7或11或13约，只须判别A与B(或B与A)的差能否被7或11或13约。
证明：因为1000=7×11×13-1
10002=(7×11×13-1)2
=7×11×13的倍数+1
10003=7×11×13的倍数-1
……
例 5 987198719871
由 A-B=(871+198)-(719+987)
=1069-1706，
知 B-A=637=72×13。
即能被7和13约，不能被11约。
例6 21203547618
由(618+203)-(547+21)
=253=11×23，
知原数能被11约，不能被7或13约。
若其差为0，则这个数必能同时被7、11、13约。
例如 8008 8-8=0，
则8008÷7=1144，8008÷11=728，
8008÷13=616。
能被17约：
(1)末两位数与以前的数字组成的数的2倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(2)末三位数与以前的数字组成的数的3倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(3)末三位数的6倍与以前的数字组成的数之差数(或反过来)能被17约的数。
例如，31897168
由(1)得318971×2-68=637874，
重复四次得 170，17|170，
故知 17|31897168。
由(2)得 31897×3-168=95523，
523-95× 3=238，
17|238，故知17|31897168。
由(3)得31897-163×6=30889，
再由(2)889-30×3=799，
最后由(1)99-7×2=85，
17|85，则 17|31897168。
能被19约：
(1)末三位数的3倍与以前的数字组成的数的2倍之差(或反过来)能被19约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的9倍之差(或反过来)能被19约的数;
(3)末三位数的11倍与以前的数字组成的数之差(或反过来)能被19约的数。
例如，742050833
由(3)得742050-833×11=732887，
再由(1)887×3-732×2=1197，
最后由(2)97×2-11×9=95，
19|95，则19|742050833。
能被23约：
(1)末三位数的2倍与以前的数字组成的数之差能被23约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的7倍之差能被23约的数。
例如，542915
由(1)得915×2-542=1288，
288×2-1=575，
23|575，则23|542915。
由(2)5429×7-15×2=37973，
379×7-73×2=2507，
25×7-7×2=161，
23|161，则23|542915。
能被25约：
末两位数是00、25、50、75的自然数。
能被99约：
可同时被3与33或9与11约的自然数。
能被99各因数约：
把被判断的数从个位起，每两位分成一段，各段数之和能被各因数的某一因数约，这个数就能被这个因数约。
证明：设这个数 N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……
因为99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因数33、11、9、3约。
所以当(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3约时，N也能被这四个数约。当N是奇位数时，仍然成立。
例7 4326321
4+32+63+21=120，
3|120，则3|4326321。
例8 84564
8+45+64=117，
9|117，则 9|84564。
例9 493526
49+35+26=110，
11|110，则11|493526。
例10 18270945
18+27+09+45=99，
33|99，则33|18270945。
能被273约：
根据定理：若c|b、c a、则b a。
例如，判别272452654能否被273整除。
3|273，3 272452654，
则 273 272452654。
若判断36786360能否被24约，根据定理：
若b|a，c|a，(b，c)=1，
则其 bc|a。
因为24=3×8，(3，8)=1，
3|36786360，8|36786360，
所以 24|36786360。
同理，因为132=3×4×11，
(3，4，11)=1，
而3、4、11能分别约992786256，
则132|992786256。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（四）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧化归
将某一问题化归为另一问题，将某些已知条件或数量关系化归为另外的条件或关系，变难为易，变复杂为简单。
例1 甲乙两工程队分段修筑一条公路，甲每天修12米，乙每天修10米。如果乙队先修2天，然后两队一起修筑，问几天后甲队比乙队多修筑10米?
此题具有与追及问题类似的数量关系：甲每天修筑12米，相当于甲的“速度”;乙每天修筑10米，相当于乙的“速度”，乙队先修2天，就是乙先修10×2=20(米)，又要甲比乙多修10米，相当于追及“距离”是20+10=30(米)。
由此可用追及问题的思维方法解答，即
追及“距离”÷“速度”差=追及时间
↓ ↓ ↓
(10×2+10)÷(12-10)=15(天)
例2 大厅里有两种灯，一种是上面1个大灯球下缀2个小灯球，另一种是上面1个大灯球下缀4个小灯球，大灯球共360个，小灯球共有1200个。问大厅里两种灯各有多少盏?
本题若按一般思路解答起来比较困难，若归为“鸡兔问题”解答则简便易懂。
把1个大灯球下缀2个小灯球看成鸡，把1个大灯球下缀4个小灯球看成免。那么，1个大灯球缀2个小灯球的盏数为：
(360×4-1200)÷(4-2)=120(盏)
1个大灯球下缀4个小灯球的盏数为：
360-120=240(盏)
或(1200-2×360)÷(4-2)=240(盏)
例3 某人加工一批零件，每小时加工4件，完成任务时比预定时间晚2小时，若每小时加工6件，就可提前1小时完工。问预定时间几小时?这批零件共有多少件?
根据题意，在预定时间内，每小时加工4件，则还有(4×2)件未加工完，若每小时加工6件，则超额(“不定”)(6×1)件。符合《盈亏问题》条件。
在算术中，一定人数分一定物品，每人分的少则有余(盈)，每人分的多则不足(亏)，这类问题称盈亏问题。其算法是：
人数=(盈余+不足)÷分差(即两次每人分物个数之差)。
物品数=每人分得数×人数。
若两次分得数皆盈或皆亏，则
人数=两盈(亏)之差÷分差。
故有解：
零件总数：4×7+4×2=36(件)
或 6×7-6×1=36(件)
例4 一列快车从甲站开到乙站需要10小时，一列慢车由乙站开到甲站需要15小时。两辆车同时从两站相对开出，相遇时，快车比慢车多行120千米，两站间相距多少千米?
按“相遇问题”解是比较困难的，转化成为“工程问题”则能顺利求解。
快车每小时比慢车多行120÷6=20(千米)
例5 甲乙二人下棋，规定甲胜一盘得3分，乙胜一盘得2分。如果他们共下10盘，而且两人得分相等，问乙胜了几盘?
此题，看起来好像非要用方程解不可，其实它也可以用“工程问题”来解，把它化归为工程问题：“一件工作，甲独做3天完成，乙独做2天完成。如果两人合做完成这样的10件工作，乙做了几件?
例6 小前和小进各有拾元币壹元币15张，且知小前拾元币张数等于小进壹元币张数，小前壹元币张数等于小进拾元币张数，又小前比小进多63元。问小前和小进有拾元币壹元币各多少张?
本题的人民币问题可看作是两位的倒转数问题，由两位数及其倒转数性质2知，小前的拾元币与壹元币张数差为63÷9=7，故
小前拾元币为(15+7)÷2=11(张)，壹元币为15-11=4(张)。
小进有拾元币4张，壹元币11张。
巧求加权平均数
例7 某班上山采药。15名女生平均每人采2千克，10名男生平均每人采3千克，这个班平均每人采多少千克?此题属加权平均数问题。一般解法：
=3-0.6=2.4(千克)
这种计算方法迅速、准确、便于心算。
算理是：设同类量a份和b份，a份中每份的数量为m，b份中每份的数量为n((m≤n)。
因为它们的总份数为a+b，总数量为ma+nb，加权平均数为：
或：
这种方法还可以推广，其算理也类似，如：
某商店用单价为2.2元的甲级奶糖15千克，1.05元的乙级糖30千克和1元的丙级糖5千克配成什锦糖。求什锦糖的单价。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（三）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧变体
例1 求图形的体积。(单位：cm)
把圆柱看成圆锥。圆柱的高是圆锥的9÷3=3(倍)，由底面积相等知圆柱包含3×3=9(个)这样的圆锥，共9+1=10(个)。
42×3.14×(9+1)=502.4(cm3)
巧拆数
例2 A、B两城之间有一条999千米长的高速公路。高速公路上每隔1千米都竖有一块路标。上面标有到A、B两地的距离(见图)。试问有多少个路标上，它们的两个数都只有两个不同的数字组成的?(例如118与881, 222与777等)
解：路标上两个数之和都是999.将999拆成两个数之和，且这两个数只有两个不同数字组成;最后将各种不同情况的数字进行排列，则得：
(1)0与9.路标上的两个数分别是：
000 009 099 909
999 990 900 090
(2)1与8.路标上的两个数分别是：
111 118 188 818
888 881 811 181
(3)2与7.路标上的两个数分别是：
222 227 277 727
777 772 722 272
(4)3与6.路标上的两个数分别是：
333 336 366 636
666 663 633 363
(5)4与5.路标上的两个数分别是：
444 445 455 454
555 554 544 545
所以共有20块路标上，千米数只有两个不同的数字组成的。
巧代入
例3
由题意知：
将③代入①得：
将④代入①得：
解法三：由②先求出“桃重量是梨重量的几分之几”。
将⑤代入①得：
梨重620÷[2/3+(1÷2/5)÷(1÷1/4)]=480(千克)
将⑥代入①得：
巧分形
例4 求阴影部分面积。(单位：厘米)
一般解法：
梯形面积减三角形面积：(4+14)×7÷2-10×7÷2.
沿中心轴把图形分成相等的两部分：〔(4÷2+14÷2)×72-10÷2×7÷2〕×2.
巧解法：看作两个或一个平行四边形。
2×7×2=28(cm2),
4×7= 28(cm2).
例5 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题：图中四个圆的半径都是1米，圆心分别在正方形的四个顶点上。求阴影部分面积?(π≈3.14)
角为270°的扇形和中间一个正方形，解答简便。
S阴=4S扇+S正
=3S圆+S正
=3.14×12×3+(1+1)2
=13.42(m2).
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（二）
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巧变换
适当的等效变换，可使新题不新、难题不难、抽象的变得具体、繁琐的变得简单、叙述复杂的显得条理清楚。不但能开拓解题思路，而且能培养从不同角度进行审题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。
例1 一个书架有三层，共放图书270本，上层与中层图书本数的比是4∶5,中层与下层图书本数的比是10∶9.上、中、下层各放图书多少本?
把相比关系转化为分数关系。
由于在两个比中都有中层书的本数，因此，可把中层书的本数作为标准量
例2 甲、乙两车同时从相距324千米的两地相向而行，甲车每小时行
“甲、乙两车的速度比是4：5”.由于时间一定，速度与路程成正比例，可知相遇时甲、乙两车所行路程的比是4∶5.
例3某项工程，甲独做要20天完成，乙独做要30天完成，开始两人合作，中间因事甲离开了几天，所以经过15天才完成全工程。甲离开了几天?
把题意转变为“……乙先做15天，剩下的任务由甲完成，甲还要几天”，只要求出甲做了几天，就可求出他离开了几天。
15-10=5(天)
其他解法：
假设法：假设甲中途不离开并且与乙合做15天，那么，甲、乙二人可完
乙做了15天，比甲不离开多做了3天。这3天乙所做的工作量是甲中途离开
所以，甲实际工作了12-2=10（天），中途离开了15-10=5(天)。
对应法：根据题意，“完成全工程，甲要20天，乙要30天。”知甲完
=10(天)，而甲独做要20天，所以甲还要做20-10=10(天)，中途离开了15-10=5(天)
设工效法：设甲独做每天完成的工作量为1，则工作总量为1×20=20,
剩下的工作量(20-10)由甲完成还要(20-10)÷1=10(天)，故甲中途离开了15-10=5(天)
代数法：设甲中途离开x天，并把这项工程看作单位
完成的工作量等于1，得方程
解得 x=5
若按分数问题的思路解，既难又繁;如果按比例分配的思路解，就比较容易了。
甲：乙=
甲种128÷(3+5)×3=48(条)
乙种128-48=80(条)
例5 一辆汽车计划每小时行驶55千米。从A地到B地需6小时。实际上这辆车1.5小时行了90千米，照这样的速度，从A地到B地需多少小时?
因为A地到B地距离一定，即速度×时间=路程(一定)，速度与时间两个量成反比例。
设走完这路程实际需x小时，则有
解之得 x=5.5
不妨把题中的数量关系的形式变换一下。题目说：“照这样的速度”，意即 路程/时间=速度(一定)，就是说前1.5小时与这1.5小时之后的速度不变。设所求的时间为x，根据正比例关系有
解之得 x=5.5
再不妨把已知条件的叙述转化一下。速度的倒数是表示行驶单位路程所
要6小时，实际要x小时。
倒数正比例关系。
解之得 x=5.5
例6 甲3小时耕种的地等于乙2小时耕种的地，当甲耕1.4亩地时，乙耕地多少亩?
工作量的比等于效率的比。
因为时间t一定时，耕地面积S与耕地效率n成正比例。
此题没给出甲、乙的耕作效率，只给出甲、乙的时间关系，即“甲3小时耕种的地等于乙2小时耕种的地”。
可把时间的比变换为效率的比。
解得 x=2.1
例7 小李贵上街为食堂买酱油和醋，原应买4千克酱油和5千克醋，共需5.45元。但他错买成5千克酱油和4千克醋，余下0.01元。酱油和醋每千克各多少元?
将条件、结构和问题的叙述方式变换一种说法，从而使题目的数量关系明朗化、简单化。
变条件，即“买(4+5)千克酱油和(5+4)千克醋共需付5.45×2-0.01=10.89(元)”这样通过求出“买1千克酱油和1千克醋需付10.89÷9=1.21(元)”进而就很容易求出
1千克醋为 5.45-1.21×4=0.61(元)
1千克酱油 0.61-0.01=0.60(元)
例8 有两篓苹果，平均每篓重56千克，现从甲篓取出7千克放入乙篓，则两篓苹果相等。原来各重多少千克?
题中“两篓苹果平均每篓重56千克”可变更为“两篓苹果一共重56×2=112(千克)”。“现从甲篓中取出7千克放入乙篓，则两篓的苹果相等”又可变更为“两筐苹果相差7×2=14(千克)”。
这样，根据“(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数”，便可求出
甲篓原有(56×2+7×2)÷2=63(千克)
乙篓原有(56×2-7×2)÷2=49(千克)
例9 甲乙两人共有人民币若干元，若乙给甲30元，则乙余下的钱是甲现有钱的25%，甲原有钱占总数的60%，乙原有人民币多少元?
用多种基础知识，对这道较复杂的分数应用题的数量关系加以转化，寻求解题途径。
按一般思路分析：要求乙原有的钱数，须知总钱数;要求总钱数，就要求出已知的30元对应于总钱数的分率。已知甲原有的钱是总钱数的60%，乙给甲30元后，余下的钱是甲现有钱数的25%，两个分率对应的单位“1”不同。
根据分率的意义变换：由题设“乙余下的是甲现有钱数的25%”，如果把甲现有的钱数看作100份，乙余下的钱相当于这样的25份，甲乙共有钱相
根据比的意义转化：由题设“乙余下的钱是甲现有钱的25%”,可求乙余下的钱和甲现有钱数的比是25%.
根据和倍问题的解法变化：已知“乙余下的钱是甲现有钱的25%”，又知道乙余下的钱和甲现有的钱占总数的分率和为“1”.
可按“和÷(倍数+1)=一倍数”，分别求出乙余下的钱和甲现有的钱所占总数的分率。于是得
解法5：
30÷[1÷(25%+1)-60%]×(1-60%)
=60(元)
解法6：
30÷[1-60%-1÷(25%+1)×25%]×(1-60%)
=60(元)
根据乘法分配律转化：由乘法分配律可得规律：“如果乙数是甲数的m倍，把甲数分为任意的两个部分，乙数也可以分为相应的两个部分，使其分别是甲数分成的两个部分的m倍。即如果乙数=甲数×m，甲数=d+c，那么乙数一定可以分为a、b两个部分，使 a=d·m,b=c·m.
根据这一规律，由题设乙给甲30元后，甲现有的钱由两部分组成：总钱数的60%和30元。已知“乙余下的钱是甲现有钱的25%”,我们可以把乙余下的钱也分为两部分，使一部分是60%的25%(即占总数的几分之几)，一部分是30元的25%.
如图：
可见，(30+30×25%)元相当于两个人总钱数的(1-60%-60%×25%)。于是得
(30+30×25%)÷(1-60%-60%×25%)×(1-60%)=60(元)
例10 一只篮子里有四种水果，两个水果中有一个苹果，六个水果中有一个梨，八个水果中有一个香蕉，桔子十个，共有多少个?
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（一）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧 分 组
例1 下式的结果是( )。
分子是连锁自然数，且分母相同，共有1990个分数。除了前四个和后两个分数外，剩下的1984个分数均按连续4个减、4个加的顺序排列，且后4个分数的分子之和比前4个分数的分子之和多16[如(9+10+11+12)-(5+6+7+8)=16].
把这样的八个分数分为一组，可分成(1990-6)÷8=248(组)。每组的分子差16,248组是16×248=3968.
巧 归 类
例2 用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。
根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6,先编除法算式更为适宜。
(1)12÷3=4 (2)12÷2=6
12÷4=3 12÷6=2
(3)10÷2=5 (4)8÷2=4 (5)6÷2=3
10÷5=2 8÷4=2 6÷3=2
确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12.
乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。
若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
12÷3=4 10÷2=5
12÷4=3 10÷5=2
4×3=12 5×2=10
3×4=12 2×5=10
剩的六个数，可组成
6+7=13 8+1=9
7+6=13 1+8=9
13-6=7 9-1=8
13-7=6 9-8=1
整理：
组合：
(1)组可组合算式
(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
巧 类 推
例3 1、2、3、…、8、9这九个数字，可组成( )个九位数
"1"只能组成1个一位数;
"1、2"能组成12、21两个两位数;
"1、2、3"这三个数字，可组成123、132、213、231、312、321这6个三位数。
可见，由两个一位数组成的两位数的个数为2×1;由三个一位数组成的三位数的个数为3×2.依此类推：
2×1=2,
3×2=6,
4×6=24,
5×24=120,
6×120=720,
7×720=5040,
8×5040=40320,
9×40320=362880.
即，可组成362880个九位数。
巧比较
例4 6支毛笔和3支铅笔，总价5.16元;4支毛笔和3支铅笔，总价3.56元。求两种笔的单价?
解：直接相比，铅笔的支数相同，毛笔多(6-4)支，即2支，总价便多(5.16-3.56)元，1.60元。因此得算式
毛笔每支(5.16-3.56)÷(6-4)=0.8(元)
铅笔每支(3.56-0.8×4)÷3= 0.12(元)
例5 5只鸡、4只兔共重11千克，鸡轻兔重，如果交换1只，然后分别称，则所得的重量相等。问鸡、兔每只重多少?通过比较找出鸡与兔之间的关系。
题目给的条件：
5鸡4兔共重11千克;
4鸡1兔重量=1鸡3兔重量。
比较：(1)两边都拿出1鸡1兔，则，3鸡与2兔重量相等;
(2)原5鸡4兔相当于几只鸡?
5+3×(4÷2)=11(只)
也就是说11只鸡重11千克，因此，得出解法：
每只鸡重 11÷〔5+3×(4÷2)〕=1(千克)
每只兔重(11-1×5)÷4=1.5(千克)
或 1×3÷2=1.5(千克)
例6 奖给第三小学足球8个，篮球2个，价值396元;奖给第二小学足球4个，篮球3个，价值274元。单价各多少元?解：将一种球的两个数量变为相同，且变足球简捷。把奖给第二小学的球数和总价都扩大2倍，则变为足球8个、篮球6个、价值548元，再与第三小学相比。解法同例5.
例7 煤管处给运距不等的A、B、C三户送煤。第一次分别运去6吨、5吨、2吨，收运费33.2元;第二次各运去2吨，收运费14元;第三次分别运去4吨、3吨、2吨，收运费22.4元。各户应付运费多少?
观察下表：
第三次与第二次相比，A户多运2吨，B户多运1吨，多付运费22.4-14=8.4(元)。
第一次与第三次相比，A、B两户各多运2吨，多付运费33.2-22.4=10.8(元)。
再将两次比得的结果相比：
A户2吨 B户1吨 付8.4元
A户2吨 B户2吨 付10.8元
显然，可得
B户1吨运费 10.8-8.4=2.4(元)
A户1吨运费(8.4-2.4)÷2=3(元)
C户1吨运费(14-3×2-2.4×2)÷2=1.6(元)
应各付运费：
A为3×(6+2+4)=36(元)
B为2.4×(5+2+3)=24(元)
C为 1.6×(2+2+2)=9.6(元)
例8 (北京市1990年奥林匹克竞赛题)：
一个水池子，甲、乙两管同时开，5小时灌满;乙、丙两管同时开，4小时灌满;如果乙管先开6小时，还需要甲、丙管同时开2小时才能灌满(这时乙管关闭)。那么乙管单独灌满水池需要多少小时?
列表：
比较。由(1)、(2)、(3)知：
由(3)、(5)可知：
可知：
或 1×3×5=15(小时)。
解答。再加上乙独灌的5小时，就是乙独灌满水池共需15+5=20(小时)。
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小学数学难题解法大全之巧妙解题方法技巧05-29
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法分析01-27
数学难题之巧妙解题方法05-30
小学数学难题巧妙解题方法05-29