小学数学难题巧妙解题方法

　　文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

小学数学难题巧妙解题方法

　　连比法

　　把应用题中的数量关系巧妙地转化为连比，不仅可使有些问题顺利获解，而且还可以培养学生思维的灵活性，提高解题能力。

　　例1 某厂有三个车间，第一车间工人数是第二车间工人数的5倍，第三车间的工人数等于第一、二两个车间工人数之和。已知第一车间比第三车间少52人，问三个车间共有多少工人?

　　依题意知，一车间人数与二车间人数的比是5∶1;三车间人数是5+1=6(份)。因此，第一、二、三车间工人数的连比是5∶1∶6，故三个车间共有工人：

　　例2 A、B、C三人共做零件900个，A做总数的30%，B比C多做

　　一般思路：

　　A做 900×30%=270(个)

　　由条件知，B、C做的个数比是(1+3)∶3=4∶3，A与B和C做的个数比是30%∶(1-30%)=3∶7，而4+3恰好等于7。

　　所以A、B、C三人所做零件个数的连比是3∶4∶3，总份数3+4+3=10.

　　例3 有一水槽，装有甲、乙注水管和丙放水管，槽空时，单开甲管5分钟可以注满，单开乙管10分钟可以注满，槽满时开丙管15分钟可以放完。现在甲、乙、丙三管齐开，2分钟后闭上乙管，问还需几分钟可以注满水槽?

　　连比法：〔30-(6+3-2)×2〕÷(6-2)=4(分钟)

　　算理：根据连比可知，把总工作量平均分成30份，甲、乙两管开1分钟分别注进6份和3份，丙管开1分钟放出2份。三管齐开进(6+3-2)份，闭上乙管1分钟进(6-2)份，故有上式。

　　若设待植棵数“1”，则算式为

　　若设已植了x棵，由题意

　　用连比解：

　　例5 煤矿中学有数学、美术、音乐三个研究小组，数学组人数是总数的

　　解：∵数学组人数∶总数=3∶5，∴美音总人数∶总数=2∶5，而

　　美音总人数∶美术组人数∶音乐组人数=8∶3∶5。所以

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（二十）

　　联想

　　联想是由一事物想到另一事物的心理过程。它能够把一事物与其它事物的某些共同点，联系起来思维，是一种不依常规、寻求变异的思维形式，是创造思维的核心。对应用题的条件和问题进行全面剖析联想，解一步、看两步、想到第三步，多方探求答案，是发散思维的基础，解题优化的先导。

　　例1今有面值3分和8分的邮票共50张，总值3.25元，两种邮票各多少张?

　　联想《鸡兔同笼》问题，可这样理解：将两种邮票看作两种动物，只有3只脚一个头和8只脚一个头的动物50个，脚共为325只，这两种动物各有多少个?

　　8分邮票(325-3×50)÷(8-3)=35(张)

　　3分邮票50-35-15(张)

　　或(8×50-325)÷(8-3)=15(张)

　　根据小学生的思维特点，当两个量含有倍数(或分率)、相差关系时，用线段图形象地揭示它们之间的数量关系是有效的分析方法。

　　据图纵横联想：

　　(一)由条件“乙给甲200本”可想到：

　　①现乙比原乙少200本;

　　②现甲比原甲多200本;

　　③总量未变;

　　④等量关系：原甲=现乙、原乙=现甲、原乙(现甲)-原甲(现乙)=200(本);

　　③原甲(现乙)：原乙(现甲)=5∶(2+5)=5∶7。

　　通过上述剖析联想，学生顿开茅塞。衍生出求问题：“作家乙原有书多少本?”的思路：可由总数求，也可由原甲(现乙)求，还可直接求。解题思路越开阔，迅速作出判断的灵感和能力也就越强。鼓励学生争论，克服从众心理，培养竞争意识，学生兴趣盎然，对算式与算理各抒己见。

　　(1)先求总数

　　此解的关键是200对应总数的分率，由于原乙与现甲、原甲与现乙可等量代换。其解法如下：

　　=700(本)(以下各式略)

　　(2)先求原甲(现乙)

　　(一)原甲→总数→所求

　　(二)现乙→所求

　　(3)直接求

　　直觉思维，由布鲁纳提出。是一种粗线条的、简约的、瞬间综合的，不按逻辑程序进行的思维形式。它通过对客观事物的敏锐观察、整体感知实质、凭借已有的知识和经验，进行紧张思考，准确判断，跳越逻辑法则，采用捷径直接解决问题。

　　在肯定这些解法的认知结构有创造性的基础上，诱导进一步观察线段图推敲题意，学生的直觉思维将得到开拓。算式为

　　200×3+100 100×5+100

　　200×4-100 100×7

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十九）

　　列表看看

　　例1 甲乙两人共需做140个零件。甲做自己任务的80%，乙做自己任务的75%，这时甲乙共剩下32个零件未完成。问各需做多少个?

　　由题意，知甲乙已完成108(140-32)个，甲剩自己任务的20%(1-80%)，乙剩自己任务的25%(1-75%)。为计算方便，先把甲项或乙项中的数量变为相同，其他相关数量顺理转化。

　　可见：个数栏内下比上多20个，是因为乙栏内下比上多

　　25%，这二者是相对应的，由此得：

　　甲需做20÷25%=80(个)

　　乙需做140-80=60(个)

　　当题目因缺乏某一条件难以解答时，可假设出所需条件，作为辅助已知数，然后在增加条件的情况下研究解题方法。

　　例2 一登山运动员从山脚到山顶，再原路返回，他上山的速度是每小时4千米，下山的速度是每小时6千米，这个运动员上下山的平均速度为每小时多少千米?

　　从上表可看出，从山脚到山顶的路程不论是多少，它的平均速度都是4.8千米。因此可以设路程为“1”，则往返的路程为1×2，1÷4，1÷6分别为往返的时间。得后种解法。

　　例3 一个正好装12千克油的桶装满了油，想从中倒出6千克。但没有6千克的容器，也没有秤，仅有一个8千克和一个5千克的容器。怎样的倒法才能使8千克容器中恰好装了6千克的油?

　　用列表方法，说明这题的两种解法：

　　解法一：

　　解法二：

　　例4 智力题：某商店规定，话梅五分钱一个、三个话梅核可换一个话梅。小勇买了八角钱的话梅，你知道他最多可以吃到多少个话梅吗?

　　可见：第一次用八角钱可买话梅80÷5=16(个)，同时有16个话梅核。

　　第二次用第一次吃剩的16个话梅核去换话梅，可换5个，还余1个话梅核;同时吃了5个话梅，就留有5个话梅核，共计6个。

　　第三次用6个话梅核去换2个话梅，吃了2个，还剩下两个话梅核。

　　第四次在处理2个话梅核时，有两种方法：其一，先借1个话梅核，凑全了3个换吃1个话梅，将吃剩的话梅核作归还;其二，先借吃1个话梅，将吃剩的1个话梅核与原先剩的2个话梅核凑齐，换来1个话梅作归还。这样，用2个话梅核便能换吃1个话梅。

　　他最多可以吃到16+5+2+1=24(个)话梅。

　　最佳思路：根据上述分析，用2个话梅核就能换吃1个话梅，于是每买2个话梅，实际上能吃到3个话梅，买话梅的个数与实际吃到的话梅个数的比是2∶3.这样，用八角钱能买16个话梅，可吃到

　　3×(16÷2)=24(个) 或

　　也可这样解：按规定，每买1个话梅，就可用吃剩的1个话梅核，换回

　　依次下去，实际上能吃到的话梅的个数应是：

　　q1=1，故

　　列举法

　　这是一种不完全归纳法，有些抽象。结论难以确定正误时，根据需要既要列举一些有代表性的数据(如0与1)，也要照顾到各种情况，否则会出现以偏概全的错误。通过观察计算，从中得到启示，找出规律，确定结论是否成立。

　　例5 一个数乘以真分数，积一定小于这个数。( )

　　显然，结论中的“一定”不确切。

　　例6 判断，圆心角一定，扇形的半径与面积成不成比例。( )

　　用公式推导，繁杂不易理解。列举些数据：

　　设圆心角为45°，r为半径，S为面积。

　　当r=1时，S=0.3925;

　　当r=2时，S=1.57;

　　当r=3时，S=3.5325;

　　当r=4时，S=6.28.

　　r与S的比值或积都不一定，因而扇形的半径与面积不成比例。

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十八）

　　逻辑推理

　　例1 从代号为A、B、C、D、E、F六名刑警中挑选若干人执行任务。人选配备要求：

　　(1)A、B两人中至少去1人;

　　(2)A、D不能一起去;

　　(3)A、E、F三人中派2人去;

　　(4)B、C两人都去或都不去;

　　(5)C、D两人中去1人;

　　(6)若D不去，则E也不去。

　　应派谁去?为什么?

　　可这样思考：由条件(1)，

　　假设A去B不去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去。这样，则与条件(4)B、C两人都去或都不去矛盾。

　　假设A、B都去，由(2)知D不去，由(5)知C一定去，由(6)知E不去，由(3)知F一定去。无矛盾，(4)也符合。

　　故应由A、B、C、F四人去。

　　例2 河边有四只船，一个船夫，每只船上标有该船到达对岸所需的时间。如果船夫一次划两只船过河，按花费时间多的那只船计算，全部划到对岸至少要用几分钟?

　　至少要用2+1+10+2+2=17(分钟)

　　例3甲、乙、丙三人和三只熊A、B、C同时来到一条河的南岸，都要到北岸去。现在只有一条船，船上只能载两个人或两只熊或一个人加一只熊，不管什么情况，只要熊比人数多，熊就会把人吃掉。人中只有甲，熊中只有A会划船，问怎样才能安全渡河?

　　这里只给出一种推理方法：

　　枚举法

　　把问题分为既不重复，也不遗漏的有限种情况，一一列举问题的解答，最后达到解决整个问题的目的。

　　例4 公社每个村准备安装自动电话。负责电话编码的雅琴师傅只用了1、2、3三个数字，排列了所有不相同的三位数作电话号码，每个村刚好一个，这个公社有多少个村?

　　运用枚举法可以很快地排出如下27个电话号码：

　　所以该公社有 27(3×9)个村。

　　例5 国小学数学奥林匹克，第二次(1980年12月)3题：一个盒中装有7枚硬币：2枚1分的，2枚5分的，2枚10分的，1枚25分的。每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复。那么记下的和至多有多少种不同的数?

　　枚举出两枚硬币搭配的所有情况

　　共有9种可能的和。

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十七）

　　模式法

　　在解决问题时，寻找模式的思考方法是一种十分有效的策略。运用这种方法时，从问题的最简单例子或其变式着手，根据这些具体例子来发现其中的模式或规则，然后以此来获取问题的一般解。

　　寻找模式，提出并检验猜想以及用公式表示判断准则，虽然不是数学的全部内容，但它们是数学思想、思维、概括数学知识的核心问题。

　　例1 阶梯问题：造4步的阶梯需要方块10个，造10步的阶梯需要多少块?造20步的需要多少块?

　　4步的阶梯，第一步用1块，第二步用2块(右边第二列)，第三步用3块，等等。

　　加起来就得到所需的总数：

　　1+2+3+4=10

　　建造10步的阶梯，可从四步的阶梯开始首先加上第五步的5块这一列，随之是第六步的6块这一列，等等，直到第10步。总数是：

　　1+2+3+……+9+10=55(块)

　　不难发现这样的模式：每加上一步所需的块数正好是这一步的顺序数。因此把1到20的整数相加就可得到20步阶梯的方块总数。然而要计算这个总和比较麻烦。要直接得到这个总和，除非有个计算公式。如果学生不熟悉这种公式，则可以从以下的数字资料中去寻找可能模式：

　　4步阶梯需要10块

　　10步阶梯需要55块

　　能否察觉步数与所需块数之和间的关系?从仅有的两个例子来发现模式是有困难的，需要考察更多的特殊例子。为此可把一些比较简单的例子集中起来，将有关数据记录在表中。

　　让学生试着去发现步数与所需块数之间的关系。因关系很不明显，学生只能看出得数是整数。这时如能作出一个猜想，并进而检验这个猜想，便是解决这个问题的良好开端。学生可以思考4与10、5与15、7与28等等有着怎样的关系。

　　几次“追踪”后，可给学生指出(4×5)÷2=10，同样地(5×6)÷2=15。于是学生似乎感到有法则可依循。然后再一起来检验这个法则：(6×7)÷2=21，……(10×11)÷2=55，学生猜测几步阶梯所需的方块数总和是由公式n(n+1)÷2来确定的。在这个时候学生有理由相信20步阶梯所需的总块数是(20×21)÷2=210。但还不能完全肯定这个结果。

　　我们所以要寻求规律，目的是要能够以此作出一个可以导致解决问题的一般公式的猜想或假设。但这必须小心谨慎，因为往往会出现所作的猜想对列举的例子是成立的，而对于一般化的问题却不成立的情况。

　　只有猜想得到了证明，才是求得了一般解的公式，为此必须确立猜想的有效性。可以通过以下两者之一来实现：

　　(1)归纳。证明法则在第一个例子中是成立的、假定对某个给定的例子的前面所有例子都成立，证明某个给定的例子后一个例子也成立，由此可证得猜想成立。

　　(2)演绎。根据已知的事实，通过逻辑推理而导出。只有在这时猜想才可称作判断准则。如果能找出一个不满足猜想的例子，则就足以否定猜想的有效性。

　　怎样确定阶梯的步数与所需的块数之间的假设关系是有效的呢?学生猜测所需的.方块数是由n(n+1)÷2式确定的。n是步数，学生可以通过实验来验证这个猜想。在建造阶梯的过程中学生已经看到，如果有n步，需要的块数是前n个自然数的和，即

　　1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n

　　如果第一个数加最后一个数，和是n+1;第二个数加上倒数第二个数，得2+(n-1)=n+1;第三个数加上倒数第三个数，得3+(n-2)=n+1。同样的方法连续配对相加，各对数的和均是n+1。

　　这就是所作的猜想。这样，就得到了判断前n个自然数的和的方法即法则，同时也解决了原先的问题。

　　例2 根据模式

　　你能预测下图的结果吗?

　　仔细审视考察表：

　　可以作出何种猜想?分析这个表可发现区域数是由公式2n-1确定的，其中n是点子数。n=1、2、3、4、5都是正确的。

　　根据相应的法则，6个点的区域数应是数26-1=32，但实际上不是这个数字，而是30或31(见图)。所以这个猜想不能概括为法则。

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十六）

　　逆推

　　也称倒推法。思考的途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。有些题目用顺推法颇感困难，而用倒推法解却能化难为易。

　　例1 一种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长到100万个。问增长到25万个时需要几小时?

　　因为细菌每小时增长1倍，所以增长到25万个后再经过1小时就可以增长到25×2=50(万个)，增长到50万个后又经过1小时就可以增长到50×2=100(万个)。

　　从25万个增长到100万个要用1+1=2(小时)，所以增长到25万个时需要10-2=8(小时)。

　　把第二天运走后再余下的吨数看作单位“1”，还剩下的12吨占第二天

　　又把第一天运走后余下的吨数看作单位“1”， 16吨货占第一天运走

　　=30(吨)

　　例3(国外有趣的故事题)传说捷克的公主柳布莎，决定她所要嫁的人必须能解下面的问题：一只篮中有若干李子，取出它的一半又一枚给第一人，再取出其余的一半又一枚给第二人，又取出最后所余的一半又一枚给第三人，那末篮中的李子就没有剩余。篮内有李子多少枚?

　　逆推法：〔(3×2+1)×2+1〕×2

　　=〔7×2+1〕×2

　　=15×2

　　=30(枚)

　　若抓住“1”的转移，算式为

　　例4 甲、乙两人从1开始轮流报数，每人每次只能轮流报1至3个连续自然数，如甲报1、2，乙可报3或3、4;或3、4、5，谁先报到100谁胜;乙怎样报才能获胜?

　　解题分析：如果某一次乙报后还剩下100或99、100;或98、99、100，那么甲取胜，乙则败。但是乙要取胜，他倒数第二次报后必须剩下4个数，使甲一次不能报完。因为100是4的倍数，甲先报，无论甲报几个数，乙只要报自己报的数字个数与甲报的个数加起来是4。这样，剩下的数字个数总是4的倍数，乙定获胜。

　　例5 有甲、乙两堆小球，各有小球若干，如果按照下列规律挪动小球;第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，那么如此挪动四次后，甲、乙两堆的所有小球恰好都是16个，问甲、乙两堆小球最初各有多少个?

　　此题用逆推法列表分析如下：

　　从表中可明显看出甲堆最初有21个小球，乙堆有11个。

　　小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十五）

　　巧虚构

　　虚构求解是一种重要的数学思维方法，可帮助我们从困境中解脱出来，是假设法的一种。

　　例1 我国运动员为参加十一届亚运会进行长跑训练。跑10000米的时

　　设过去跑10000米需要21分钟，那么缩短的时间为1分钟，现在所需的时间为20分钟，因此过去与现在所需时间的比为21∶20。

　　根据路程一定，速度与时间成反比例，则过去与现在的速度比为20∶21。所求为

　　(21-20)÷20=5%

　　例2 甲、乙、丙三人进行竞走比赛。甲按某一速度的2倍走完全程的一半，又按某一速度的一半，走完余下的路程。乙在一半的时间内，按某一速度的2倍行走，在另一半的时间内，却按某一速度的一半行走。丙始终按某一速度走完了全程。问谁先到达目的地?谁最后到达目的地?

　　设三人竞走的全程为400米，某一速度为每分钟行100米。那么甲行完全程需要的时间为(400÷2)÷(100×2)+(400÷2)÷(100÷2)=5(分钟)。