关于数学思想方法研究的对象与范围

　　一、数学思想方法的历史演进

关于数学思想方法研究的对象与范围

　　对数学思想方法作为历史的考察，并分析其演变、发展的规律是数学思想方法研究的首要内容。其具体可分为两大类：第一，数学思想方法的系统进化，即从整体上进行研究。比如，从古至今，数学思想方法发生了多少次重大转折，每一次转折如从算术到代数、从综合几何到几何代数化、从常量数学到变量数学、从必然数学到或然数学、从明晰数学到模糊数学以及从手工证明到机器证明等，都是怎样孕育和产生的，其要点和作用是什么，均属于这一类。第二，数学思想方法的个体发育，主要是研究每一个数学思想产生、演变和发展的规律，以及本身的特征，在数学发展中的作用和方法论价值等。广义一点讲，从思想方法角度来研究概念、运算、公式、定理乃至学科产生发展的历史，也可看成是此类研究的范围。

　　二、数学的思维方式与数学研究的基本方法

　　数学的主要思维方式是什么?这是数学家们历来关注的一个重要问题。本世纪初以来，围绕什么是数学的基础问题的讨论，逐步形成了三个不同的学派，即逻辑派，直党派与形式公理派。如果从思维方式上看数学基础问题的讨论，可以说，在逻辑主义学派看来，数学的主要思维方式是逻辑思维；在直觉主义学派看来，数学的主要思维方式是直觉（或灵感）思维；在形式主义学派看来，数学的主要思维方式是以符号为特征的纯粹的抽象思维。到底什么是数学的主要思维方式?辩证思维在数学尤其是高等数学中占有怎样的.地位?仍是一些尚待解决的问题。

　　数学中的一些常用方法，诸如公理法、模型法、构造法、解析法、递归法、极限法、逐次逼近法、统计法、对偶法、关系映射反演法、数学归纳法、反证法等，这是大家所熟悉的。那么，数学中到底有哪些基本方法?每个方法又是怎样产生和发展的，其特征和作用如何?这是一些具有重要方法论价值且至今没有很好解决的研究课题。

　　三、数学家的思想方法

　　数学家是在数学研究中做出贡献的人，而数学家之所以取得成果做出贡献，又往往与他在思想方法上实行某种变革有关，因此，考察与剖析数学家特别是著名数学家的思想方法，是把握数学思想方法的重要方面，也是探讨数学创造规律，加强数学人才培养不可缺少的研究内容。众所周知，古今中外有许多著名数学家，如欧几里得、刘徽、祖冲之、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯、罗巴切夫斯基、伽罗华、康托尔、希尔伯特、彭加勒、维纳、冯·诺伊曼、鲁滨逊、札德、托姆、华罗庚等，不仅在数学研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有独到之处，甚至是实行了革命性的变革。遗憾的是，以往对他们的成果记载比较详尽，而对他们的思想方法却考究很少，这不能不说是过去数学史研究中的一大缺陷。通过对数学家思想方法的挖掘与评论，可以使人们树立起“作出成果是贡献，创造思想方法是更大贡献”的观念，并将其作为评价数学家的重要方面之一。

　　四、数学学派的思想方法

　　如果说某一数学家的思想方法较为隐蔽，难以考证，不易作出准确的分析，那么数学学派却不然，因为它本身往往就是通过某一特殊的思想方法把大家联系在一起的，或者说，是因为思想方法不同而划分成不同派的，因而，它的思想方法是较为明显，容易作出判断的。比如，前面提到的本世纪初以来形成的逻辑派、直觉派与形式公理派，其思想方法十分鲜明。本世纪30年代，在法国出现的布尔巴基学派，其思想方法也是非常明确的。他们认为，数学是以数学结构作为研究对象的科学，主张用数学结构（代数结构、序结构和拓扑结构）概括全部数学，所谓数学的理论发展，无非是各种结构的建成、改进与扩充而已。一句话，他们的数学思想方法就是数学结构主义。在数学结构主义指导下，经30多年的努力，到1973年共出版《数学原本》36卷，为数学发展作出了巨大贡献。不仅如此，他们治学的思想方法，也有许多独到之处，像学术讨论上的“无情批判”，组织成员上的“自由流动”，撰写论著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得认真总结。当然，要完整、准确地概括某一学派的思想方法的实质、特点、历史与作用，也是相当困难的。

　　五、数学的潜形态及其向显形态转化的机制

　　所谓“数学潜形态”有两个含义：第一，从科学认识角度看，任何数学成果都有一个由孕育到成熟、由潜到显的过程，存在一个孕育阶段，我们就把孕育阶段的数学思想称之为“数学潜形态”，如数学问题、数学猜想、数学悖论等；第二，从数学发展的曲折性看，它指的是“处于待显阶段的数学成果”，因为一个数学成果取得后，并非都立即得到数学界的承认，而由于种种原因，往往被忽视、排斥、压制、埋没、抛弃、扼杀，有一个蒙难的历程，我们就把虽然在认识上已达到显阶段，但并没有被人们确认的，仍然处于“潜在阶段”的数学成果，也叫做“数学潜形态”。这里，主要是研究数学潜形态的产生、演变、特征、作用及其向数学显形态的转化机制等。

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