二次函数学习方法

　　篇一：函数学习方法

二次函数学习方法

　　一．函数的相关概念：

　　1．变量与常量

　　在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持不变的量叫做常量。

　　注意：变量和常量往往是相对而言的，在不同研究过程中，常量和变量的身份是可以相互转换的．

　　在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

　　说明：函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下三点：

　　（1）只能有两个变量．

　　（2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化．

　　（3）对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的值与之对应．

　　二．函数的表示方法和函数表达式的确定：

　　函数关系的表示方法有三种：

　　1．.解析法：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析法．用解析法表示一个函数关系时，因变量y放在等式的左边，自变量y的代数式放在右边，其实质是用x的代数式表示y；

　　注意：解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不一定能用解析法表示出来．

　　2．列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫列表法；

　　注意：列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出的对应值是有限的，而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。

　　3．.图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。

　　三．函数（或自变量）值、函数自变量的取值范围

　　2．函数求值的几种形式：

　　（1）当函数是用函数表达式表示时，示函数的值，就是求代数式的值；

　　（2）当已知函数值及表达式时，赌注相应自变量的值时，其实质就是解方程；

　　（3）当给定函数值的取值范围，求相应的自变量的取值范围时，其实质就是解不等式（组）。

　　3．.函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．下面给出一些简单函数解析式中自变量范围的确定方法．

　　（1）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数（即全体实数）；

　　（2）当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数；

　　（3）当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数；

　　（4）当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数。

　　说明:当函数表达式表示实际问题或几何问题时，自变量取值范围除应使函数表达式有意义外，还必须符合实际意义或几何意义。

　　在一个函数关系式中，如果同时有几种代数式时，函数自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。

　　篇二：学习二次函数的技巧和方法

　　二次函数专项知识分析

　　知识能力目标：

　　1、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数

　　学的方法描述变量之间的数量关系。 2、能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言

　　表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。 3、会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

　　4、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的

　　近似根。

　　考点一二次函数的图象和性质

　　1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax2+bx+c(a≠0，其中a、b、c是常数)的函数为二次函数。（1）、a决定抛物线的开口方向和形状大小，当a＞0时，开口向上，当a＜0时开口向下；︱a︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b和c同时为0时，其顶点就是原点。 ?b4ac?b2（2）、抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是???2a4a

　　?，对称轴方程是直??

　　线x=?

　　b2a

　　，注意：对称轴是由a和b决定的，与c 无关，a和b同号时，对称轴在Y

　　轴的左边，a和b异号时，对称轴在Y轴的右边，简称“同左异右”。

　　（3）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与Y轴的交点坐标为（0，c）；求与X轴的两个交点坐标的方法是令y=0，然后解关于ax2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是与x轴的交点的横坐标。这两个交点关于抛物线的对称轴对称。

　　2、二次函数的图象和性质。

　　二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，a决定抛物线的开口方向。当a＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x＞?的增大而增大；当x＜?

　　b2a

　　时，y随x

　　时， y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线的开口向下，

　　b2a

　　图象有最高点，函数有最大值，且x＞?y随x的增大而增大。

　　时，y随x的增大而减小；当x＜?

　　b2a

　　时，

　　注意：函数的最值就是顶点的纵坐标的值，即当

　　3、图象的平移：将二次函数y=ax2（a≠0）的图象进行平移，就是在顶点式y=a(x-h)2+k

　　基础上进行的，平移后的图象与原图象的开口方向，形状大小相同，只是位置不同，所以a不变；平移的口诀是h是左加右减，K是上加下减。

　　4、会求与二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）关于X轴、关于Y轴或者关于顶点对称的新二次函数的解析式。

　　（1）与二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）关于X轴对称的新解析式为y??ax2?bx?c 即a、c、b都变成相反数。

　　（2）关于Y轴对称的新解析式为y?ax2?bx?c，即a和c不变，b变成相反数。即a和c不变，b变成相反数。

　　（3）求关于顶点对称的新二次函数的解析式。应先化成顶点式y=a(x-h)+k，再把a变成相反数即可，即y=a(x-h)2+k—— y = - a (x-h)2+k

　　考点二、二次函数解析式的求法

　　1、二次函数的三种表示方法：

　　（1）表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系。（2）图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势。（3）解析式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系。 2、二次函数解析式的求法：

　　（1）若已知抛物线上三点坐标，则可采用一般式：y?ax2?bx?c（a≠0）；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y?a(x?h)2?k，

　　其中顶点为（h,k），对称轴为直线x=h；

　　（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

　　y?a(x?x1)(x?x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)；同时，两交

　　b?4aca

　　点在x轴上截得的线段x1?x2?

　　考点三根据二次函数图象求一元二次方程的近似解一元二次方程与二次函数的关系：

　　1、一元二次方程ax?bx?c?0（a≠0）就是二次函数y?ax?bx?c（a≠0）；

　　当函数y的值为0时的情况。

　　2、二次函数y?ax?bx?c（a≠0）的图象与x 轴的交点有三中情况：有两个交点、

　　有一个交点、没有交点；二次函数y?ax?bx?c（a≠0）的图象与x轴有交点

　　时，交点的横坐标就是y =0时自变量x的值，也就是一元二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）的根。

　　3、当二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）的图象与x 轴的交点有两个交点时，则一元

　　二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）有两个不相等的实数根；当二次函数

　　y?ax

　　?bx?c（a≠0）的图象与x 轴的交点有一个交点时，则一元二次方程

　　?bx?c?0（a≠0）有两个相等的实数根；当二次函数y?ax?bx?c（a

　　≠0）的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）没有实数根；

　　考点四：二次函数的应用

　　1、二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中，主要有最大利益的获取，最佳

　　方案的设计、最大面积的计算等问题。 2、解决最值问题的基本思路：（1）认真审题，分清题中的已知和未知，找出数量

　　间的关系；（2）确定自变量x及函数y；（3）根据题中实际数量的相等关系，建立函数关系模型；（4）分析图表信息、利用待定系数法、配方法等求出最值。

　　考点五：二次函数与一次函数、反比例函数的综合运用，与各种几何图形的综合运用。

　　例题讲解：

　　1、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如

　　图所示坐标系中，经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高处距水面10

　　米，入水处距

　　池边的距离为4米，同时，运动员在距离水面高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

　　（1）求这条抛物线的表达式。

　　（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动

　　员在空中调整好姿势时距离池边的水平距离为3误？通过计算说明理由。

　　米，问此次跳水会不会失

　　2、某化工厂材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格30元/千克，物

　　价部门规定其销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发

　　现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克，单价降低1元，日均多销售2千克，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天的按一天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

　　（1）求y与x的函数表达式，并注明x的取值范围。（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y?a(x?

　　b2a)?

　　4ac?b4a

　　的形式，写出顶

　　点坐标，并画出草图，观察图象，指出单价定为多少时，日获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多，多多少？

　　4已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。

　　（1）求点C的坐标；

　　（2）若抛物线y?ax?bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

　　篇三：怎样学好函数

　　［学法指导］怎样学好函数

　　学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.

　　(一)准确、深刻理解函数的有关概念

　　概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.

　　(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.

　　所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.

　　(三)把握数形结合的特征和方法

　　函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.

　　(四)认识函数思想的实质，强化应用意识

　　函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.

　　篇四：二次函数的学习方法

　　二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　一般式：1：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件，通常可设一般式）

　　2.顶点式：y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)（若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式），顶点坐标为（-m,k）对称轴x=-m

　　3.交点式（与x轴）：y=a(x-x?)(x-x?) （若给出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的交点距离或其他一的条件，通常可设交点式）

　　重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x?,x?=[-b±√(b2-4ac)]/2a

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的.平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有

　　1本身图像，旁边注名函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的

　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b*2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b*2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x<-b x="">-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

　　7.特殊值的形式

　　①当x=1时 y=a+b+c

　　②当x=-1时 y=a-b+c

　　③当x=2时 y=4a+2b+c

　　④当x=-2时 y=4a-2b+c

　　8.定义域：R

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；

　　②[t，正无穷）

　　奇偶性：偶函数

　　周期性：无

　　解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）； Δ＜0，图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≥(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

　　焦点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴焦点和另一个点坐标设焦点式。两焦点X值就是相应X1 X2值。

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b^2/4a) x=-b/2a

　　当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．

　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． y="ax^2+bx+c的最值：如果a">0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

　　习题:

　　1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．

　　考点：二次函数y=ax^2+bx+c的求法

　　评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式

　　a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵抛物线对称轴是直线x=4，

　　∴x2-4=4 - x1

　　即：x1+ x2=8

　　① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，

　　即：x2- x1= ②

　　①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-

　　∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，

　　∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。

　　当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±

　　当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±

　　因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)

　　即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3

　　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

　　2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。

　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？

　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？

　　考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质。

　　评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y

　　随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

　　解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9

　　所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。

　　当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。

　　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。

　　第10分时，学生的接受能力为59。

　　(3)x=13时，y取得最大值，

　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

　　3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

　　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

　　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

　　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

　　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为:(55–40)×450=6750(元)．

　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润

　　为:y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)， ∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000．

　　(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，即：x2–140x+4800=0，

　　解得：x1=60，x2=80．

　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：40×400=16000(元)；

　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：40×200=8000(元)；

　　由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

　　篇五：二次函数的学习方法

　　二次函数

　　二次函数与圆的知识一样，在初中数学占有重要的地位.对二次函数的考查经常跟方程等知识相结合.

　　概念与图像

　　重点难点

　　(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.

　　(2)理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,探索掌握二次函数的性质.

　　内容提要

　　(1)形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

　　(2)当aO时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当aO时，函数y=ax2的性质；当x0时，函数值y随x的增大而增大；与xO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.

　　典型一例

　　某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

　　求增种树的棵数与橙子总产量之间的函数关系.

　　解：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.

　　y=(100+x)(600-5x)

　　=-5x2+100x+60000.

　　图象性质

　　重点难点

　　(1)确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.

　　(2)正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是难点.

　　探索求知

　　1.你能发现函数y=2(x－1)2＋1的图象有哪些性质吗?

　　函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.

　　当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1.

　　2.你能说出函数y=－13(x－1)2＋2的图象与函数y=－13x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

　　函数y＝－13(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－13x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

　　描点法

　　重点难点

　　(1)用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象;通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

　　(2)理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是难点.

　　探索求知

　　1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，

　　1).

　　2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

　　函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.

　　3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

　　当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1.

　　4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

　　因为y＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2).

　　经典一例

　　请画出函数y＝－12x2＋x－52的图象，并说明这个函数具有哪些性质.

　　分析:由以上探索求知，大家已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象，进而观察得到这个函数的性质.

　　解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

　　x … －2 －1 0 1 2 3 4 …

　　y … －612

　　－4 －212

　　－2 －212

　　－4 －612

　　…

　　(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.

　　(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－12x2＋x－52的图象. 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的.

　　(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观. 则可得到这个函数的性质如下:

　　当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；

　　当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.

　　解决问题

　　重点难点

　　根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是这部分知识的重点也是难点.

　　探索求知

　　1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

　　(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10.

　　y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－

　　6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6).

　　2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

　　函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.

　　、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

　　则称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　II、一次函数的性质：

　　y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即 △y/△x=k

　　III、一次函数的图象及性质：

　　1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

　　2．性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

　　3． k，b与函数图象所在象限。

　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

　　IV、确定一次函数的表达式：

　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

　　y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函数的表达式。

　　V、一次函数在生活中的应用

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

　　解一次函数，首先要知道一次函数在图象中是两个点确定的一条直线，要知道它的解析式是Y＝KX＋B，其中B不能为零（为零的话就是正比例函数了），k是直线在Y轴上的截距，解决一次函数的关键是解决K和B的问题，所以要充分利用题目中的条件，找到两个坐标点，并列关于K和B的二元一次方程组，从而求得一次函数的解析式。要注意一次函数和正比例函数的关系，也就是正比例函数是一次函数的特例，也就是正比例函数在Y轴的截距为零，解正比例函数只需要一个坐标，解决K问题即可。另外，要注意训练一下有关与一次函数相结合的实际应用的问题，因为这部分在考题当中还是经常出现的，应加强这方面的训练。

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