数学学习方法突破猜证结合法
名师高考数学学习方法：突破猜证结合法
破选择题：四大猜想是法宝
很多考生对选择题和填空题的低正确率感到困惑。提高这两种题型的正确率，主要要突破猜证结合的。他说，猜想的应该练习下列四个猜想：第一是举特殊值法、考察特例、检验特例、举反例等等，就是把这个题目用特殊的问题进行检验，然后进行猜想，这是特殊化猜想。第二是要学会一般化猜想。第三是要学会类比法。第四是归纳猜想。这四大猜想是解选择题和填空题的法宝。
另外要会精明演绎，主要是会反例排除，数形结合，比如用图解会比较快，还有先猜后证。掌握这些方法就可从整体上掌握填空题的法宝，然后再深入练习一下，不要满足于把这个题解完就没事了。
解应用题：联系实际
今年的应用题和往年一样，仍然保持做题的难易程度，但注意，应用题通常是在选择题和填空题各有一个大众题，这种题目即使没有的，会联系实际就能解出来，所以解题时要注意联系实际，运用实际生活经验来解答。
解答应用题要注意提高新四大：阅读、探究、应用能力、思考学科的综合能力。在应用题中主要考察这四个能力，所以要注意会组题、会研究、会思考和综合，并能够应用。
三角函数：学会三角化归通法
三角函数主要要掌握好三角化归思想，三角公式不要死记硬背，要学会高速化归，能够记住几个基本公式，就能快速推出所需要的任何公式，这是现在三角学习的方向。
第二，要学会三角化归的通法，三角化归的通法叫做“三变”：(一)变角；(二)变函数；(三)变式。掌握这三变，就能够解决任何问题，解题时观察三种基本矛盾，第一种基本矛盾是角的矛盾，如果角的矛盾是主要的就变角。第二种基本矛盾是三角函数的矛盾 高中政治。第三种主要矛盾如果是在三角函数基础之上的式的矛盾，就用代数方法或者是三角方法来变式。
全面：优化基础最重要
现在可以适当做一点新题，但重要经验是优化基础，把知识结构化、系统化、程序化，在优化的基础上，适当地做一些新题。因为整个有120分的基础题，是150分，其中120分都是基础，所以优化基础是最重要的，基础好了，才能够做到解题活，才能综合知识，有较快的解题速度，所以应该把主要精力放在优化解题过程，浓缩提炼知识的机构，优化解题方法。同时模拟不要做得太多，要减轻压力，树立自信心。
高考数学选择题策略与技巧的分析
选择题在当今中，不但题目数量多，而且占分比例高，有12个小题，每题5分，共60分。这种题具有概括性强，覆盖面广，小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点，能否准确、快速、简捷地做好选择题是能否取得高分的关键。
高考数学选择题的求解，一般有两种思路，一是从题干出发考虑，探求结果；二是将题干和选项联合考虑或以选项出发探求是否满足题干条件。但由于选择题属于小题，解题原则是“小题小做”，解题的基本策略是：要充分利用题设和选项两方面所提供的信息来判断。一般来说能定性判断的，就不再使用定量计算；能用特殊值判定的，就不用常规解法；能使用间接解法的，就不用直接解法；能够明显可以否定的选项，就及早排除，缩小选择范围；能有多种解题思路的，宜选择最简捷的解法等。下面将对主要的选择题解题策略和技巧进行讨论和分析。
一、直接法策略
从题设条件出发通过正确的运算或推理，直接求得结论，再对照选项做出判断。
二、间接法策略
不通过题设条件进行推理计算，而是利用旁敲侧击的来求出正确结论。
三、排除法策略
从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，将错误的选项逐一排除，而获得正确的结论。
例1：(2005年高考题)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有( )
A.3个B.4个C. 6个D. 7个
解：第一种情况：当一个点在平面的一侧，其余3个点在平面的别一侧时，共有4个，排除A,B。
第二种情况：当两个点在平面的一侧，其余两个点在的另一侧时共有3个，总共有7个，排除C,选择D。
四、特殊值法策略
根据选项的唯一正确性，利用符合条件的字母特殊值代入题干和选项，从而确定正确答案，其关键在于选取适当的特殊值[包括特殊点(特殊位置)、特殊函数、特殊数列、特殊图形等]。
例1：(2004年高考题)已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()
A. (0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
解：令，X1 =0, X2=1,则,可排除A、C
令a=3，x=1则2-ax=2-3<0，对数无意义，排除D,选择B。
五.代入验证法、估算法、数形结合法、极限法等其它方法策略
除上述的方法之外，高考数学选择题还有估算法、极限法等其它方法和技巧也可以灵活运用。
例：(2005年湖北省高考题)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内 高中英语，积累的需求量Sn(万件)近似地满足(n=1、2、3、···12)，据此预测在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月
解：由an=Sn-Sn-1可算出an ，由二次函数性质可算出a n的对称轴为7.5.当X=6时，an=1.5，为了大于1.5则x取7.8 ，选择C。
通过上述分析得到的启示是：选择题的解题方法很多，为了正确迅速求得结果，不能拘泥于一种方法，应扬长避短，兼蓄并用、灵活沟通，为我所用，特别注意以下几点：
(1)解题时首先考虑间接法，不要一味采用直接法。
(2)在间接法中首先应考虑排除法，即使不能全部将干扰项除掉，至少可以排除一部分，从而简化剩余部分的选择程序。
(3)若能迅速判断某个答案正确，则可不及其余，当机立断地做出选择。
(4)若肯定某个答案有困难时，可转而去否定其余的答案、只要其余答案被否定了，剩下的一个答案一定是正确的。
在具体操作上，最好能双管齐下，把正面肯定与反面否定相结合，就能沿着最佳途径准确迅速地选择正确答案。
在解答高考数学选择题时如果能够做到：准、快、巧，就能既在选择题部分获得高分，又能赢得较多的时间去解答其它部分的问题，从而使得高考数学最终突破高分。
临场应试技巧 选择题直接求解法
古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学，更要学。清华网校的栏目由清华附中名师结合多年教学经验和附中优秀心得组成，以帮助培养良好的习惯为目的，使在学习中能够事半功倍。
中总有那么一两道问题难度系数很低的，问题难，以拉开来不同考生的差距。遇到难题一时想不出来，可以考虑换一种方法，换一种思路，如果仍然没有头绪，不妨先放一放，记下题号，等后面的解答完了再回来看看，你可能会获得新的解题方法。 最后如果仍然没有想出来的也不能放弃，是选择题就要猜测答案了，填空题也不能空着，猜测答案往上写，是大题，就要分步写，只要与问题有关，能写多少写多少。
遇到了难题，我该怎么办？
会做的题目要力求做对、做全、得，而更多的问题是对不能完整完成的题目如何分段得分。下面有两种常用方法。
一、面对一个疑难问题，一时间想不出方法时，可以将它划分为几个子问题，然后在解决会解决的部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成表达式，设应用题的未知数 高中语文，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。而且可望在上述处理中，可能一时获得，因而获得解题方法。
二。有些问题好几问，每问都很难，比如前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根基前面的结论你能够解答出来，这时候不妨先解答后面的，此时可以引用前面的结论，这样仍然可以得分。如果稍后想出了前面的解答方法，可以补上：“事实上，第一问可以如下证明”。
选择题有什么解题技巧吗？
1、直接求解法
从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择支对照来确定选择支。
2、筛选排除法
在几个选择支中，排除不符合要求的选择支，以确定符合要求的选择支。
3、特殊化方法
就是取满足条件的特例(包括取特殊值、特殊点、以特殊图形代替一般图形等)，并将得出的结论与四个选项进行比较，若出现矛盾，则否定，可能会否定三个选项;若结论与某一选项相符，则肯定，可能会一次，这种方法可以弥补其它方法的不足。
高三立体几何的基本问题总结
到了高三阶段，同学们就已经有了十二年的经验了，在这漫长的学海生涯中，经过历练和钻研，每个人都有一套独特的总结问题的，关于高三立体几何，也有几点总结，在这里分享给大家，希望能够有所帮助。
立体几何中两个最基本的问题，一个是求角度，一个是求距离。
1求角度的问题：一般解法的关键是把所求角放在一个三角形里，最好是直角三角形，这样解三角形就可以了。一般的线线角都可以尝试这种方法，即若角不在三角形里，就注意角的两边，在两边上找到合适的点做出三角形后解此三角形。
求线面角和二面角一般是转化为线线角。这里一定要先尝试三垂线定理。个人经验表明至少80%的线面角、二面角题都靠这种方法，极少数情况下，若发现线面角和面面角可以直接转化为线线角（比如求二面角时发现题目已经给出一个垂直于两平面的平面C，那么此平面C与那两个平面的交线的夹角就是二面角）的话就直接求。而三垂线定理的核心在于那条和平面垂直的线，若题目中给了一条线垂直于一个平面的话就要特别留心加以利用，若没给就往往需要自己做一条。用三垂线定理可以把所求角转化为线线角并直接放到直角三角形里，是求线面角、二面角最常用的方法。
2距离：记住异面直线的距离常常是没法直接求的！公垂线给了能直接求，公垂线没给的话可能一天也找不到它在哪里。常用的方法是找一个包含一条直线并与另一直线平行的平面，转化为线面距离，或者面面距离。但线面距离和面面距离有时也不好求，常见的方法是再转化成点面距离，然后用三棱锥三组底与高乘积相等的办法，即体积法可以求出点面距离。
在学习立体几何的过程中只要掌握了问题的核心，就是把所求问题化繁为简，这样接下来的求证部分就能顺理成章的完成了 高中化学。立体几何部分是中独立存在的部分，和其他关系不大，只要在学习过程中摸寻规律并掌握方法，就会学得很好。多练习多遇到不同体型是有效提高这部分成绩的最好的办法。
新高三理科生数学的复习方法
高考的考察主要还是基础，难题也不过是在简单题的基础上加以综合。所以课本上的内容是很重要的，如果课本上的都不能掌握，就没有触类旁通的资本。
对课本上的.内容，上课之前最好能够首先一下，否则上课时有一个知识点没有跟上的步骤，下面的就不知所以然了，如此恶性循环，就会开始厌烦数学，对来说是很重要的。课后针对性的练习题一定要认真做，不能偷懒 高中学习方法，也可以在课后时把例题反复演算几遍，毕竟上课的时候，是在进行题目的演算和讲解，在听，这是一个比较机械、比较被动的接受知识的过程。也许你认为自己在上听懂了，但实际上你对于解题的理解还没有达到一个比较深入的程度，并且非常容易忽视一些真正的解题过程中必定遇到的难点。“好脑子不如赖笔头”。对于数理化题目的解法，光靠脑子里的大致想法是不够的，一定要经过周密的笔头计算才能够发现其中的难点并且掌握化解，最终得到正确的计算结果。
其次是要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系统化。举个具体的例子：代数的函数部分，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等好几种不同类型的函数。但是把它们对比着总结一下，你就会发现无论哪种函数，我们需要掌握的都是它的表达式、图象形状、奇偶性、增减性和对称性。那么你可以将这些函数的上述内容制作在一张大表格中，对比着进行理解和。在解题时注意函数表达式与图形结合使用，必定会收到好得多的效果。
最后就是要加强课后练习，除了作业之外，找一本好的参考书，尽量多做一下书上的练习题（尤其是综合题和应用题）。熟能生巧，这样才能巩固课堂学习的效果，使你的解题速度越来越快。
高三数学概率训练题
章末综合测（10）概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
④“取出3只红球”与“取出3只白球”．
其中是对立事件的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.
2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12.
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( )
A．甲获胜 B．乙获胜
C．甲、乙下成和棋 D．无法得出
C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.
4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )
A．1－π4 B.π4
C．1－π8 D．与a的取值有关
A 解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A.
5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( )
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23.
6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概
率为P＝616＝38.
7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34
C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14
D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下
雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.
8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118.
9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
D解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.
10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件总数为36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712.
11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ( )
A．a＞910 B．a＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910
C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.
12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若实数x，y满足x≤2，y≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．
解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x，
y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8.
答案：π8
14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是
________．
解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十
进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.
答案：12
15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程
组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．
1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，
满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，
故所求概率为P＝3436＝1718.
16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，点P是圆内的
任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最
大，则m＝__________.
0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，
则点P落在平面区域E内的概率最大．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率[]
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；
(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．
解析：
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.
(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.
15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管．
18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球．
(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、
(黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，
事件A包含的基本事件为：
(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)．
事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为P(A)＝38.
19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
解析：(1)z－3i为实数，
即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b＝3的概率为16.
即事件“z－3i为实数”的概率为16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
当b＝1时，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；
当b＝2时，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；
当b＝3时，(a－2)2≤0，即a可取2.
综上可知，共有9种情况可使事件成立．
又a，b的取值情况共有36种，
所以事件“点(a，b)满足(a－2 )2＋b2≤9”的概率为14.
20．(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是治疗专家．
(1)求A1恰被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本事件．
用M表示“A1恰被选中 ”这一事件，则
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．
所以P(M)＝618＝13.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，
所以P(N)＝318＝16，
由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.
21．(12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0.
(1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，
(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P(A)＝912＝34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，构成事件A的区域为{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率为这两区域面积的比．
所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.
22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．
(1)共有多少种安排？
(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？
解析：(1)安排情况如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法．
(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为
P(A)＝212＝16.
(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．
∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.
方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1012＝56.
高三数学教案 平面向量的解题技巧
教案 平面向量的解题技巧
1.这部分内容中所占分数一般在10分左右.
2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他综合的解答题.
3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.
【考点透视】
"平面向量"是新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,多以低、中档题为主.
透析高题,知命题热点为:
1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积.
2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义.
3.两非零向量平行、垂直的充要条件.
4.图形平移、线段的定比分点坐标公式.
5.由于向量具有"数"与"形"双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.
6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.
【例题解析】
1. 向量的概念,向量的基本运算
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式.
例1(2007年北京卷理)已知 是 所在平面内一点, 为 边中点,且 ,那么( )
A. B. C. D.
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的.
解:
故选A.
例2.(2006年安徽卷)在 中, ,M为BC的中点,则 ______.(用 表示)
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.
解: , ,所以, .
例3.(2006年广东卷)如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量 ( )
(A) (B)
(C) (D)
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
解: ,故选A.
例4. ( 2006年重庆卷)与向量 = 的夹解相等,且模为1的向量是 ( )
(A) (B) 或
(C) (D) 或
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.
解:设所求平面向量为 由
另一方面,当
当
故平面向量 与向量 = 的夹角相等.故选B.
例5.(2006年天津卷)设向量 与 的夹角为 ,且 , ,则 __.
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解:
例6.(2006年湖北卷)已知向量 , 是不平行于 轴的单位向量,且 ,则 = ()
(A) (B) (C) (D)
命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.
解:设 ,则依题意有
故选B.
例7.设平面向量 、 、 的和 .如果向量 、 、 ,满足 ,且 顺时针旋转 后与 同向,其中 ,则( )
(A) (B)
(C) (D)
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法:∵ ,∴ 故把2 (i=1,2,3),分别按顺时针旋转30 后与 重合,故 ,应选D
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