小学数学数学思想方法
小学数学数学思想方法
小学数学数学思想篇一:小学数学中常见的数学思想方法有哪些
我们的教学实践表明:小学数学教育的现代化,主要不是内容的现代化,而是数学思想及教育手段的现代化,加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法,是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。
一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性
小学教学教材是数学教学的显性知识系统,数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式,教材中只能看到漂亮的结论,许多例题的解法,也只能看到巧妙的处理,而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的,但是它并不是唯一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法。因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口。
二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法
1.符号思想
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容,这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆,便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式,有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系,量的变化以及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式来表达大量的信息。
例1:“六一”联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球,则按照题意可以转化成如下符号形式:aaabbcaaabbcaaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。
2.化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法,其基本思想是:把甲问题的求解,化归为乙问题的求解,然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。它的基本原则是:化难为易,化生为熟,化繁为简。例2:狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次可向前跳4米,黄鼠狼每次可向前跳6米。它们每秒种都只跳一次。比赛途中,从起点开始,每隔21米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?
这是一个实际问题,但通过分析知道,当狐狸(或黄鼠狼)第一次掉进陷阱时,它所跳过的距离即是它每次所跳距离4(或6)米的整倍数,又是陷阱间隔21米的整倍数,也就是4和21的“最小公倍数”(或6和21的“最小公倍数”)。针对两种情况,再分别算出各跳了几次,确定谁先掉入陷阱,问题就基本解决了。上面的思考过程,实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题,即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题,这种化归思想正是数学能力的表现之一。
例3:一杯牛奶,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶?
此题若把五次所喝的牛奶加起来,即++++就为所求,但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形,并假设它的面积为单位“1”,将一半面积涂为阴影,然后不断将其剩下面积中的一半涂为阴影,最后至结束,所有阴影面积之和化归为1-,这就是所求。这里形式上渗透了数形结合思想,本质上其实就是化归思想中化难为易的原则的体现。
3.转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略,是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论。用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。
例4:2.8÷÷÷0.7,直接计算比较麻烦,而分数的乘除运算比小数方便,故可将原问题转换为:×××,这样,利用约分就能很快获得本题的解。
例5:某班上午缺席人数是出席人数的,下午因有1人请病假,故缺席人数是出席人数的。问此班有多少人?此题因上下午出席人数起了变化,解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全班人数的=,下午缺席人数是全班人数的=,这样,很快发现其本质关系:与的差是由于缺席1人造成的,故全班人数为:1÷(-)=56(人)。
4.类比思想
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁,从而可以激发起学生的创造力。
例6:把一个立方体切成27个相等的小立方体,如果在切的过程中不允许调整,很显然,要6刀才能切成,现在的问题是,如果允许在切的过程中调整,即第一刀切完后,如果你愿意的话,切成的两部分可以重叠到一起后再切第二刀,在切第三刀之前,也可以把前两刀切出的部分任意重叠,如此类推。请问,按这样的切法,是否可以用少于6刀切出27个相等的小立方体?
分析这个问题并不容易,一是三维空间对人的想象力要求比较高,二是各种切法情况比较复杂,难于一一分析。
我们不妨用类比的方法,先考虑一个二维情况下的类似问题:把一个正方形分成9个大小一样的小正方形,如果的切的时候不能调整,容易知道,要四刀。现在的问题是,如果可以调整,可以将切出的部分重叠后再切,可以少于四刀吗?
您去试一试就知道,这个问题还是不容易解决!
一不做,二不休,考虑一维情况下类似的题目:把一条线段平均分成三段,不能调整的话,两刀?如果能调整呢?情况如何?你很快可以发现,还是要两刀!怎么理解这种现象?您很快会找到中间那段,这段有两个端点,每个端点处总是要切一下的!
返回去想切正方形的事!也看中间那个正方形,它有四条边,不论你怎么切,每一刀总只能切一条边!于是4刀是最少的!
再看三维的情况:也考虑最中间的正方体。它有六个面,不论你怎么切,每刀最多切出一个面来,那么最少要六刀!
问题就这样解决了!
5.归纳思想
在研究一般性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。在解决数学问题时运用归纳思想,既可发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。
例7:在教学“三角形内角和”时,先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数,再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和,最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就是运用归纳的思想方法。
小学数学数学思想篇二:小学数学中常见的数学思想方法有哪些
1.小学数学中常见的数学思想方法有哪些?
答:小学数学中常见的数学思想方法有:转化思想、集合思想、数形结合思想、函数思想、符号化思想、对应思想、分类思想、归纳思想、模型思想、统计思想等。
2.小学生应该形成的基本活动经验有哪些?
答:小学生应该形成的基本活动经验有操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流。
(1)、基本数学活动经验。我们大致把数学基本经验
分为:日常生活中的数学经验,社会科学文化情境中的数学经验,以及纯粹数学活动累积的数学经验。
(2)、日常生活中的数学经验。
第一类:可以直接拿来促进学生数学学习的生活经验。第二类;可以通过类比来促进学生数学学习的生活经
验。
第三类:可能对学生的数学学习产生负面影响的生活经
验。
第四类:包含着一搬规律的生活经验。
(3)、关注学生生活经验、积累生活中的数学活动经
验。
(4)、围绕新课程下的数学教学,我们要帮助学生积
累生活中数学活动经验,应该依据学生生活经验、利用学生生活经验、提升学生生活经验。
(一)依据学生生活经验
(二)利用学生生活经验
(三)提升学生生活经验
3.简要谈谈学业评价具有哪些功能?
答:(一)学业评价的基本功能:巩固功能、反馈功能、矫正功能。
(二)学业评价的新增功能:发展功能、激励功能、沟通功能
另外,学业评价的功能还有选拔功能、自测功能、展美功能、育人功能等、这些功能不是单一的、孤立的,而是相互联系、相互促进的,有时还是相互转化的。
4、具体谈谈学业评价具有哪些特征?
答:学业评价呈现以下基本特征:
一、学业评价具有系统性
(1)前测性的学业评价。前测性的学业评价可以是一节
课开始之初的评价,也可以是一个教学单元甚至一门课程开始之前的评价。这种评价的主要目的是想弄清楚学生是否具备即将开始学习所必需的知识和技能,即确定学生的学习准备情况,它是进行教学活动的基础,直接关系到教学目标是否能够达成。
(2)形成性的学业评价。形成性的学业评价可以是一节
课之中的评价,也可以是一个教学单元之中甚至一门课程实
施之中的评价。这种评价主要被用于监测学习进步、检测学习中的错误,并为学生和教师提供反馈。这种评价是监控学生学习进展最重要的手段,也是进一步教学的基础。对于那些在形成性评价中持续出现困难的学生,教师必须找准导致学习障碍的原因,采取切实有效的帮救措施,从而为学生的发展提供最有价值的建议。
(3)终结性的学业评价。终结性的学业评价是在一节课、一个教学单元或一门课程结束时,评估学生的学习成果达到预期目标的程度。终结性评价并非是学业评价的结束,它可以是下一轮学业评价的前测性评价,它也可以是评价体系中的形成性评价。因此,学业评价不是一次性工作,它是一项系统的、动态的一种学习过程。
二、学业评价具有综合性
(1)学科内综合。小学数学学业评价不是单一数学知识
的再现,一般都具有综合性的特征。在评价范围上,不仅应该有知识与技能的评价,还要有过程与方法、情感态度与价值观等全方位的评价;在评价内容上,不仅应该有数与代数知识领域的评价,还要有空间与图形、统计与概率等知识领域的评价。
(2)学科间综合。小学数学学业评价除了具有学科内综
合的特征外,一般还具有与其他学科综合的特点。在进入信息化时代的今天,小学数学还具有与现代信息技术整合的特
点。如在学习求比值以后,有位数学老师设计了一道数学题。要求学生上网查询“黄金分割与生活”这个关键词,然后把看到的最有趣的信息改编成一道数学题,并在班上交流。学生对这类作业非常感兴趣,完成作业的热情非常高。最后答案有以下几种。
三、学业评价具有差异性
(1)学生个体成长具有差异性。心理学告诉我们,遗传
素质为人的身心发展提供了可能性,环境和教育规定了人的身心发展的现实性。遗传素质为人的身心发展提供了必要的生物前提。但是,要使遗传为人的发展提供的可能性能够成为现实性,关键在于后天的环境和教育。一个遗传素质较差的儿童,未必终身无所作为。在现实条件下,不同的条件、教育程度或教育专业,在很大程度上,作为一种实际的驱动机制产生着各种不相同的现实的人:文盲、工程师、艺术家,并直接导致他们身心发展的水平、性质、领域等方面的种种差别。因此,学生个体成长具有差异性。
(2)学生学业成就具有差异性。学生个体成长具有差异
性,必然导致学业成就具有差异性。学业评价要依据课程目标的要求,结合教学内容和学生实际,尽量做到全体学生都有适合自己水平的评价习题。同一评价习题,可从要求上分层也可从数量上分层,要尽量使不同层次的学生在同一时间里都能完成老师交给他们的学习任务,从而体验学习的乐
趣。学业评价也可为不同层次的学生分别设计不同内容的习题,这样的学业评价并没有用一把尺子来度量他们,而是增大了思维量,拓宽了思路,调动了所有学生的学习积极性,使每个学生都在原有基础上得到了不同程度的提高。总之,学业评价应找准不同层次学生的“最近发展区”,尽量满足不同层次学生的学习需要,潜能生必须达到课程标准的最低要求,学优生尽其所能拔尖提高,使他们人人学有所获、学有所乐。
四、学业评价具有多元性
(1)学业评价主体具有多元性。学业评价要让学生、家长共同参与,主要形式有学生自评、伙伴互评、家长评价、教师评价等。首先,学生是学习的主人,也应该是自我评价的.主人,要指导学生实事求是地对自己的努力程度、学习情况作出分析;同时,也要鼓励学生就教师对自己的评价提出不同的看法。其次,学生之间的相互了解度有时比教师对学生的了解更为全面和准确,学生间的相互评价往往更能够说明被评价者的实际情况;教师有必要加以引导,让学生在相互评价的过程中学会相互勉励,共同进步。另外,家长是学生校外生活的最亲密接触者,对孩子在兴趣、学习习惯等方面的情况了如指掌,家长的评价能够为教师的教学工作提供许多有价值的信息。无论是过去、现在、还是将来,数学教
小学数学数学思想篇三:小学数学思想方法有哪些
人类的活动离不开思维,思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点,数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任,现代教育观点认为,数学教学就是指数学思维活动的教学,数学教学实质上就是学生在教师指导下,通过数学思维活动,学习数学家思维活动的成果,并发展数学思维,使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。本文汇总了小学数学中所运用到的数学思维方法,理解并合理的运用,既可帮助老师明确孩子思维训练的方向,也可以帮助老师读懂习题的思维价值,进而设计具有思维价值的练习。
《课标》(修订稿)把“双基”改变“四基”,即改为关于数学的:基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
“基本思想”主要是指演绎和归纳,这应当是整个数学教学的主线,是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的,其教学也不是矛盾的,通过归纳来预测结果,然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中,会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想,但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法,就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的,但它们是个案,不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的,经过一段时间,学生很可能就忘却了。这里所说的思想,是大的思想,是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。
史宁中教授认为:演绎推理的主要功能在于验证结论,而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力;根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。
就方法而言,归纳推理十分庞杂,枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析,以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反,归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。
演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理
借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力,是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑,“双基教育”缺少归纳能力的培养,对学生未来走向社会不利,对培养创新性人才不利。
一、什么是小学数学思想方法
所谓的数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点,它揭示了数学发展中普遍的规律,它直接支配着数学的实践活动,这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法,就是解决数学问题的方法,即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段,也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的,它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的,它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说,前者给出了解决问题的方向,后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单,知识最为基础,所以隐藏的思想和方法很难截然分开,更多的反映在联系方面,其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法,集合思想和交集方法,在本质上都是相通的,所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念,即小学数学思想方法。
二、小学数学思想方法有哪些?
1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。
3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。
5、类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
6、转化思想方法
转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等,在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法
分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分,也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
8、集合思想方法
集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段,利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。
9、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象,数离不开形,形离不开数,一方面抽象的数学概念,复杂的数量关系,借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。
10、统计思想方法:小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法,求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。
11、极限思想方法:事物是从量变到质变的,极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时,“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路,在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态,这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
12、代换思想方法:他是方程解法的重要原理,解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子,共用去504元,一张桌子和3把椅子的价钱正好相等,桌子和椅子的单价各是多少?
13、可逆思想方法:它是逻辑思维中的基本思想,当顺向思维难于解答时,可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法,有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的1/7,第二小时比第一小时多行了16千米,还有94千米,求甲乙之距。
14、化归思维方法:把有可能解决的或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类以便解决可较易解决的问题,以求得解决,这就是“化归”。而数学知识联系紧密,新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题,对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。
15、变中抓不变的思想方法:在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系,抓不变的量为突破口,往往问了就迎刃而解。如:科技书和文艺书共630本,其中科技书20%,后来又买来一些科技书,这时科技书占30%,又买来科技书多少本?
16、数学模型思想方法:所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象,从它特定的生活原型出发,充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程,得到简化和假设,它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所追求的目标。
17、整体思想方法:对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手,整体把握化零为整,往往不失为一种更便捷更省时的方法。
小学数学基本思想的主要特征
1、数学抽象的思想:分类的思想,集合的思想,数形结合的思想,“变中有不变”的思想,符号表示的思想,对称的思想,对应的思想,有限与无限的思想,等等。
2、数学推理的思想:归纳的思想,演绎的思想,公理化思想,转换化归的思
想,联想类比的思想,逐步逼近的思想,代换的思想,特殊与一般的思想,等等。
3、数学建模的思想:简化的思想,量化的思想,函数的思想,方程的思想,优化的思想,随机的思想,抽样统计的思想,等等。
四、推理思想
1.推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提,根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式:演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题(或逻辑规则)推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。演绎推理的常用形式有:三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有:归纳推理和类比推理。当前提为真时,合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
(1)演绎推理。(由普通性的前提推出特殊性结论的推理)
三段论,有两个前提和一个结论的演绎推理,叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提——已知的一般原理,小前提——所研究的特殊情况,结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断。例如:一切奇数都不能被2整除,(2+1)是奇数,所以(2+1)不能被2整除。
选言推理,分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理:大前提是个不相容的选言判断,小前提肯定其中的一个选言支,结论则否定其它选言支;小前提否定除其中一个以外的选言支,结论则肯定剩下的那个选言支。例如:一个三角形,要么是锐角三角形,要么是直角三角形,要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形,所以,它是个钝角三角形。
假言推理,假言推理的分类较为复杂,这里简单介绍一种充分条件假言推理:前提有一个充分条件假言判断,肯定前件就要肯定后件,否定后件就要否定前件。例如:如果一个数的末位是0,那么这个数能被5整除;这个数的末位是0,所以这个数能被5整除。这里的大前提是一个假言判断,所以这种推理尽管与三段论有相似的地方,但它不是三段论。
关系推理,是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理:(1)对称性关系推理,如1米=100厘米,所以100厘米=1米;(2)反对称性关系推理,a大于b,所以b不大于a;(3)传递性关系推理,a>b,b>c,所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍,如在一年级学习数的大小比较时,把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列,实际上都用到了关系推理。
(2)合情推理。(归纳推理和类比推理,由特殊到一般)
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