数学逆转程序与方法介绍

　　数学学习与与解题的常用思维策略审题与分析策略十法审题与分析是解题的先导,以获得解题最佳思维程序为目的，以下是小编整理的数学逆转程序与方法介绍，一起去来看看吧。

数学逆转程序与方法介绍

　　当代著名数学家、教育学家波利亚在论述解题策略时，曾强调“反面思考”的作用，所谓“反面思考”，就是通过考察事物的对立面来探索问题的解的一种思考方法。由于事物的对立面可以从不同的角度来选取，这就使得反面思考又有不同的思考方式，而逆转程序就是这些思考方式中的一种，如果把原问题看成是已知A来探求B，那么，逆转程序就是把原问题更改为已知B来探求A，即从相反方向（交换起点与终点）这个对立面来探求问题的解答。下面举几个例子，说明逆转程序的应用。这些例子都是生动有趣的，但用常规的方法却不易求解，从而有力地说明了逆转程序在解决有关问题（特别是数学竞赛题）中的优越性。例：给你四段链条，每一段上有三节封闭（可开可合）的环。现在要你打开一些环，把十二节环连接成一个首尾相接的圆圈（图略）。每打开一环得两分，接上一环得3分，要以得分不超过15分完成本题。有人对解这个题的各种尝试过程作了非常详细的讨论，并介绍了在不断的“试错”和“反思”中寻求解题途径的思想方法，这无疑是一种有效的解题方式。

　　但是，本题若采用逆转程序的策略，其解答则显而易见。解我们从相反的方向来考察，即怎样将一个12环首尾相接的圈打开尽量少的环，使其分成环数相等的四部分？（图略）我们只须打开标有“×”的三个环即可，由于“合”与“分”是对立的统一，一种“分”的方式即可产生一种“合”的方法。这样，可知原题应打开某段链条的全部三个环，此时，打开三环得6分，而且该三环将其它三段链条接起来得9分，共得6+9=15分，符合题目要求。又例：由8个相同的小立方体构成一个2×2×2的大立方体。

　　今沿小立方体的表面将大立方体分成大小、形状完全相同的两个几何体，问有多少不同的分法？解本题是一个有趣的组合问题，如果将思维限制在考察怎样从大立方体中分割出两个全等的几何体则是难以考虑全面的：表面似乎只有一种分法，即将其分为两个1×2×2的长方体。除此之外，再不知如何下手。现在，我们从相反的方向来考虑：哪些全等的两个几何体（由4个小立方体构成）可以“合”成一个大立方体？即从部分“合成”整体这一方向来考察事物的可能性。由于“部分”的形状比较容易分析，从而问题的解也就趋于明朗。考察由4个小立方体合在一起构成的图形的所有可能形状，其中注意它们的最大棱长不超过2。首先，由两个正方体拼起来只有一种方式，再加上一个正方体，虽有两种情形，但其中一种含有大于2的棱长，从而也只有一种可能。再在三个小正方体上添加一个小正方体这只有4种允许的本质上不同的拼合方式（本质上不同是指经过刚体运动后它们不能重合）。意外的是，这四种情形中的任何一种，其两个完全相同的几何体都能拼成2×2×2的立方体，故我们的答数为4。

　　怎样利用工具书呢? 下面例举供你参考:

　　１.查找常用字, 可用《新华字典》、《同音字典》、《汉语常用字典》．

　　２.查找冷僻字, 可用《现代汉语词典》、《中华大字典》以及《古汉语常用字字典》．

　　３.查找现代词语, 可用《现代汉语词典》、《新华词典》．

　　４.查找古代语词, 可用《辞海》、《古汉语常用字字典》、《辞通》、《联绵字典》等．

　　５.查找文言虚词, 可用《文言虚字》、《词论》等．

　　６.查找成语典故, 可用《汉语成语词典》、《常用成语典故选释》等．

　　７.查找马列著作篇名、文句以及诗词文句出处, 可用《马克思恩格斯全集目录》、《辞海》、《古代诗词曲名句选》等．

　　８.查找地名, 可用《辞海》、《中国古今地名大辞典》、《世界地名词典》等．

　　９.查找人名, 可用《辞海》、《中国人名大辞典》、《中国历代名人辞典》等．

　　１０.查找历史事件可用《辞海》、《简明中外历史辞典》等．

　　１１.查找职官名, 可用《辞海》、《辞源》等．

　　１２.查找学科名词术语, 可用《辞海》、《简明哲学辞典》、《政治经济学辞典》等．

　　１３.查找图像, 可用《辞海》、《外国名作家传》等．

　　当然, 还有许多专业工具书, 可根据各自需要掌握使用．

　　培养良好习惯

　　习惯是一种无意识的、不需控制的惯性行为，良好的学习习惯是提高学生自学能力的关键。

　　那么，我们应该培养学生的哪些良好的习惯呢？

　　其一：“不动笔墨不读书”的习惯。

　　所谓“动笔墨”，一是自学时要用符号在书上进行“圈、点、勾、画、批”；二是随时摘录课文的精彩之处；三是经常写一些心得体会。

　　其二：“心、眼、口”三到的习惯。

　　“三到”之中，关键是“心到”，心若不到，其他“两到”则难于做到。自学时做到心想，眼看，口念，加上前面所讲的手画，既有助于发挥多种感官的功能，又可保证精神集中，从而有效地提高自学的质量。

　　其三：善于自我提问的习惯。

　　从某种意义上讲，学习的过程就是一个不断提出问题并不断解决问题的过程。善于提出问题，是自学能力强的标志之一。

　　其四：“不耻下问”的习惯。

　　有了问题，自己解决不了，又死要面子，不肯问人，这样问题越积越多，学习就会陷入被动局面。

　　其五：利用工具书的习惯。

　　要解决那些自己不能解决的问题，除了向老师、家长和同学请教外，还可以利用工具书求得解答。学生都要备有必要的工具书，特别是《新华字典》。

　　在培养学生这几方面学习习惯时，教师应具体指导方法，严格要求，强化训练，并且要持之以恒，必定会“习惯成自然”。

　　优秀学生听课的10个诀窍

　　一、听视并用法。

　　大多数学生听课是一边听，一边看。听觉和视觉并用，比只听不抬头看的听课效果要好。听是接受声音信息，看是接受图象信息。

　　又听又看，在通过声音传递来记忆抽象的概念的同时，又可结合图象直观，来强化具体的知识印象。听和看的内容应保持同一性，不能听此视彼，分散听课的注意力。

　　听，一般指听录音、听范读、听提问、听讲解学习方法指导；看，主要是指看板书、看挂图、看荧屏或银幕上的多媒体画面，看教师的教态，如教师的举手投足、神情姿态。因为教师要借助这些板书、画面、手势，化抽象为具体、变繁复为简明、变陌生为熟悉。这种方法，以听为主，以看促听，效果很好。

　　二、听思并用法。

　　子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”边听边思考也是一种有效的听课方法。听一般是被动地吸收，思则是主动地思考。

　　边听边思，可以在由被动转化为主动的过程中，逐步加深对知识的认识和理解。只听不思考，录音机式的听课，囫囵吞枣，谈不上真正掌握知识，更谈不上培养创造性思维能力。

　　一般可从这些方面思考：教材的重、难点在什么地方，老师为什么这样处理教材，老师讲的自己是否真正懂了，老师讲的与自己想的有什么不同，这篇课文与其他课文有何异同？……

　　以思促听，能知其然也能知其所以然。

　　初中状元生自我调节能力：能力的自我调节

　　有了自我调节能力，不仅对知识方面可以进行调节，对能力、情绪、身体、环境诸方面都可以进行自我调节。本章介绍如何掌握和运用能力的自我调节能力。

　　能力的自我调节

　　我们的中学生，不应该是只会读书、只会考试的小书呆子，而应该是朝气蓬勃、立志成为管理国家、建设国家的各种人才。

　　从这一点来讲，学生干部就要占点“便宜”。有人说，当学生干部会影响学习，成绩会往下掉。这种现象有，但是，如果说当了学生干部就必然影响学习，这种说法就不科学了学习规律。严格地说，是由于学生干部没当好，才影响了学习成绩。当好了学生干部，学习成绩和工作能力会双丰收的。

　　天津静海一中的李艳辉同学，当过校学生会干事、班团支部书记、班长。他说：“当学生干部有得无失。有人认为自己学习成绩下降是由于工作量太大。其实这是工作、学习的关系没处理好。相反，作为一名学生干部，自尊心常常会激发自己奋发向上。”

　　一年，李艳辉连续出外开了几次会，确实影响他的学习成绩，期中考试成绩排全班第八。干部的自尊心促使他抓紧一切空闲时间学习，到期末便跃为全班第一。此后，他一直保持了这个成绩。同时，当学生干部，每过一阶段，总要写几份工作总结，这在客观上锻炼了他的思维、概括能力，反映在试卷上就是他的答题的条理性比别的同学强。因此，李艳辉同学感到当学生干部有得无失。

　　最有效的口语学习点子

　　很多学生在口语学习过程中会碰到不同的困扰，不掌握一定的科学方法很难突破。我们要想学好口语，首先就要了解口语学习的原则。

　　【语音】：语音学习在整个口语学习中是最基本的，也是最关键的。语音学习不只是包括单纯的发音练习，还应包括语调、节奏等的训练。其实，不管是学习哪种发音，纯正标准是关键。这是口语的基础阶段，一定要多听多学多练，持之以恒多模仿。

　　【词汇】：掌握标准纯正的语音是必须的，但却是远远不够的。中国学生可能会有疑问，认为自己的语音已经不错了，可为什么在老美面前还是觉得没话讲，无法顺利地交流。答案很简单，积累不够。

　　学习母语不识字也可以流利的说出来，但学习外语没有一定的词汇量绝对不行，我们没有学习语言的环境，只有掌握一定的词汇量后，你才能进行阅读和听说，只有通过大量的阅读和练习，你才会说出英语。我用过一些词汇记忆软件，感觉都还不错，最后我选择“奇迹英语智能记忆”，的确比以书本和词典背单词在效率上提高很多，不会有像背课本或词典那样一边学习一边忘记的现象，而且记得牢固，有了词汇基础我感觉学习英语轻松了很多。

　　【句型】：谈到第三个着力点就是口语当中的句型了，句型好比数学当中的公式，只要我们掌握了一类句型，以后就可以直接进行部分替换，就能说出多个不同的句子。当然，口语当中出现的句子可说是千变万化，我们除了通过部分替换来得到不同的句子外，如何更有效地来掌握句型呢？这就需要我们对不同的句型进行归纳整理，了解并记忆各个句型所应用的场景和功能。通俗点说，就是在什么地方，跟什么人就要说什么话。

　　【文化】：掌握句型不仅是目的，也是我们进行第四个着力点的手段。我们学习口语最终是要达到像英美人士思维的目的，这也是我们要付出努力的第四个着力点。大多数中国口语学习者在说出一个英文句子前，总是先想中文，再把它翻译成英文，结果变成Chinglish，失掉了洋味儿。

　　有些同学会说，我们没有生活在美国，怎么了解他们的文化？最直观的方式便是大量的观看原版电影了。

　　这是学习口语应该注意的四大着力点，任何一方面都不能忽视，只有形成一股强大的合力，才能把口语学习推向一个更高的境界。 a

　　十种方法激发孩子学习信心

　　孩子进入初中，也就意味着他们已经或即将进入青春发育期。这是一个人从幼稚走向成熟，从依赖走向独立，从家庭走向社会并逐步适应社会的重要阶段。可以说，这一时期的孩子是最让父母操心、担心和伤脑筋的。在这样一个特殊时期，给初中生的家长们以下一些建议：

　　一、尽量表扬孩子。

　　孩子具有一定的自信心，才会肯去学习。要使孩子每天都感觉到他在学习上取得了一定进步，哪怕是改正一个缺点。

　　二、多关心孩子的学习内容和实际进步程度。

　　家长要多询问孩子最近学习了什么，掌握得如何等。

　　三、经常给孩子制订几个容易达到的小目标。

　　这样可以使孩子感觉到能够做到，孩子有自信心，从而有利于孩子发挥出潜能。

　　四、刺激孩子的学习欲望。

　　要抓住生活中的各种机会让孩子练习。

　　五、帮助孩子树立责任心。

　　让孩子学会洗碗、洗手帕，整理自己的床铺、用具，尽到自己的那份责任。

　　六、在孩子面前做表率。

　　记住：好家长教出好孩子的道理。

　　七、尽量不要在孩子面前议论教师，尤其不要在孩子面前贬低教师。

　　即使孩子对某位任课老师有一些负面情绪的时候，也要弄清楚事实之后再酌情处理，不要主观判断。

　　八、定下家庭学习规矩。

　　定下家庭学习规矩，并且自始至终执行，以形成良好的学习习惯，作息习惯。

　　九、引导孩子善于提出问题。

　　要培养孩子多问为什么。

　　十、要使孩子重视上学，尽量避免孩子缺课的情况发生

　　【拓展】

　　知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素也都有其本身的内容。问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西?实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法。它们是知识中奠基性的成分，是人们为获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的(请注意这里的“法则”中还含有“法”字)。它们是人类文化的重要组成部分之一棗数学文化的核心内容即知识中的核心，也就是数学文化的“重中之重”。因此，把思想、方法归属于知识的范围，比起把知识、技能和方法三者并列起来更为科学。

　　能力是指主体能胜任某项任务的主观条件。在数学学习中，学生的数学能力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去完成专门任务(解决特定的问题)的能力。显然，技能和能力都与知识密不可分；但学生在任务(问题)面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择，使得完成任务(解决问题)达到多快好省，则是一项超越知识本身的心理活动。因此，把知识、技能和能力三者并列起来是合理的；但也应看清楚，这三者的顺序是由低到高，在教育、教学的意义下是后者更重于前者。

　　一、历史的回顾

　　我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程。? 由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中学数学教学大纲》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。? 由国家教育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》，在第2页“教学目的”中也规定：“高中数学的基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时，指出第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”；第四层面是“能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质”。这份大纲维持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第1页)；并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系，数学思想、方法和语言”(第24页)；坚持在对解题进行指导时，应该“对解题的思想方法作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中学数学教学大纲，充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。

　　二、数学思想方法

　　(一)思想、科学思想和数学思想

　　思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。本文所指的思想，都是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此，对于学习者来说，思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础；思想和下面述及的方法都是他们的思维活动的载体。每门科学都逐渐形成了它自己的思想，而科学法则概括出各门科学共同遵循和运用的一些科学思想。

　　所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

　　数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等；中学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚纲)、目(亚目)、属、科、种的分类表，它不是单由数学给予的。只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是运用数学思想；当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。

　　(二)数学思想中的基本数学思想

　　在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的。?

　　基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基石”棗符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”棗对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的.思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系)。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

　　非科学思想当然也是大量存在的。例如，“崇洋”的思想就是一种非科学思想。

　　中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。

　　(三)思路、思绪和思考?

　　我们在中学数学教育、教学中，还经常使用着“思路”和“思绪”这两个词语。一般说来，“思路”是指思维活动的线索，可视为以串联、并联或网络形状出现的思想和方法的载体，而“思绪”是指思想的头绪。“思路”和“思绪”实际上是同义词，并且它们都是名词。

　　那么，另一个词语“思考”又是什么意思呢?“思考”就是进行比较深刻、周到的思维活动。作为动词，它反映了主体把思想、方法、串联、并联或用网络组织起来以解决问题的思维过程。由此可见，“思考”所产生的有效途径就是“思路”或“思绪”；“思路”或“思绪”是“思考”的结果，是思想、方法的某种选择和组织，且明显带有程序性。对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平，反映了学习者能力的差异。

　　(四)方法和数学方法

　　所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

　　数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。

　　数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电脑的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。?

　　宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：

　　(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。

　　(2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。

　　(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。

　　(五)方法和招术

　　如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前期过程中，反映了学习者的能力和技能的高低；而在后期过程中，只反映了学习者的技能的差异。?

　　所谓“招术”“招”字应正为“着”字，本文仍用传统的“一招一式”的说法。是指解决特殊问题的专用计策或手段，纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值远低于“法”(这里的“法”指“通法”)的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“招”的“普适”要差得多；实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。

　　例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时，用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看作第一“招”；根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看作第二“招”；根据与x轴交点和另一点的坐标求出解析式可看作第三“招”。这三“招”各有奇妙之处。哪一“招”更好使用，要看条件和管着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”，最根本、最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上点的横、纵坐标的对应关系；对于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点)，解析式可以有什么不同的反映。而这样的“法旨”，恰恰体现了对应思想和数形结合的思想。由此看来，我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招’不给‘法’”的现象，在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。

　　三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法

　　(一)中学数学教科书中应该传授的基本数学思想

　　中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。? 1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。

　　这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式(组)的解集可以用数轴表示或用不等式(组)表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式(组)、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应；高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。

　　2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

　　3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

　　(二)中学数学教科书中应该传授的基本数学方法

　　在传授基本数学方法方面，仍如义务教育初中数学教学大纲所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活运用”这四个层次。这四个层次的含义也可以遵照该大纲中的提法(第8页脚注)，新的高中数学教学大纲(供试验用。本文下面所述“高中大纲”均指此大纲)维持了这些提法(第4页脚注)。分别属于这四个层次的基本数学方法的例子有：“了解数学归纳法的原理”(高中大纲第9页)，“了解用坐标法研究几何问题”(高中大纲第10页)；“理解‘消元’、‘降次’的数学方法”(初中大纲第19页)；“掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式(高中大纲第6页)”；“灵活运用一元二次方程的四种解法求方程的根”(初中大纲第17页。四种解法指直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在这方面，大纲的规定是比较明确的。

　　在大纲、教科书和实际教学中，有时把“思想方法”作为一个词语使用。为什么可以这样做呢?这要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时，我们常说要让学生掌握“消元”的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于“消元法”；而当我们从“代入公式直接求解”的角度去分析此问题时，就出现了“行列式法”(其实也是“代入法”)。根据这样的认识，在不少场合下笼统使用“思想方法”一词是合理的，但作为科学研究，必须把“思想”和“方法”分开予以界定。

　　有关数学思想和数学方法，尚是一个崭新的研究课题。以上认识涉及很多因素，有待进一步开掘。错漏之处，欢迎批评指正。

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