高中解题中数学思想方法的应用

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高中解题中数学思想方法的应用

　　摘要：数学思想、数学方法很多，这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨，让学生从中体会四种基本数学思想方法在解题中的重要作用。

高中解题中数学思想方法的应用

　　关键词：数学；思想方法；高中；应用

　　数学思想、数学方法很多，这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨，让学生从中体会四种基本数学思想方法在解题中的重要作用。

　　函数思想就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想。

　　方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型―方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想。

　　1、函数与方程的思想

　　函数与方程的思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。数学中很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，即函数与方程可相互转化。

　　下面来看这样一道例题：

　　例1：和的定义域都是非零实数集，是偶函数，是奇函数，且求的取值范围。

　　分析：已知两个函数的和，求商，好象从未见过。我们不能只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“是偶函数，是奇函数”，于是就有，又有再把换成。这时不能再把当函数解析式来看了，知道了+，-就可以把它们当成两个未知数，只需去解一个二元一次方程组问题就解决了。

　　由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考察的重点，它在解析几何、立体几何、数列等知识中都有广泛应用。

　　2、数形结合的思想

　　数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述，代数论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

　　数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。

　　看一道数形结合的例题：

　　例2：已知关于x 的方程=px，有4个不同的实根，求实数p的取值范围。

　　分析：设y = = 与y=px这两个函数在同一坐标系内，画出这两个函数的图像

　　（1）直线y= px与y=-（x-4x+3），x[1，3]相切时原方程有3个根。

　　（2）y=px与x轴重合时，原方程有两个解，故满足条件的直线y=px应介于这两者之间，由：得x+（p -4）x+3=0，再由△=0得，p=4±2，当p=4+2时， x=-[1，3]舍去，所以实数p的取值范围是0，在数学中只要我们注意运用数形结合思想，既可增加同学们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。

　　3、转化与化归的思想

　　转化与化归思想是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要思想方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。

　　转化与化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用转化与化归的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义

　　看一个简单的例子：

　　例3：求函数的最值

　　分析：若平方、移项等，你会发现这些尝试都是徒劳无功的。我们注意到：可以把换成什么？有了，也是在上的！

　　从某种意义上讲，解答每一道题都是通过探索而找到解题思路，通过转化达到解题目的。转化时，一般是把一个领域内的问题转化为另一个领域内的问题；把实际问题转化为数学模型；把陌生繁复的问题转化为熟悉，简单的问题等。

　　4、分类讨论的思想

　　所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”。

　　分类讨论时，必须遵循两个原则：（1）对存在总域的各个子域分类做到“既不重复，又不遗漏”；（2）每次分类必须按同一标准进行。数学分类思想的关键在于正确选择分类标准，要找到适当的分类标准，就必须运用辨证的逻辑思维，就必须对具体事物具体分析，在表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，在表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点。这样才能揭示数学对象之间的内在规律，对数学对象进行有意义的分类。

　　分类讨论难免会有点繁琐，看似一道题，却相当于几道题的工作量。但当目标不明确时，分类讨论就是开门钥匙了！

　　分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

　　以上四种数学思想方法对认知数学活动的一般规律；对领悟数学精神、思想和方法，建立正确的数学观和数学教育观；对改进学生的学习、提高学业成绩、提高数学素质、培养智能型、创新型人才都能起到积极的推动作用，所以在今后的学习过程中，我们要不断进行归纳和总结，不断体会这四种重要数学思想方法在数学解题中的作用。

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