数学题解析特殊化方法

　　您现在正在阅读的小学数学解题策略——特殊化方法文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!小学数学解题策略——特殊化方法数学大师希尔伯特曾讲:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。我们寻找一个答案而未能成功的原因就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”由此可见，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择。

数学题解析特殊化方法

　　1 特殊化的基本思想

　　特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。特殊化作为化归策略，基本思想就是：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。因此，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上，而获得一般性问题的解决。正如波利亚所说：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集或仅仅一个对象。”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其子类问题的过渡。较为理想的特殊是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。所以，特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。

　　2 特殊化的具体运用

　　特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从一般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……，正如华罗庚先生所说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。”

　　让我们通过一些具体的例子来体会特殊化策略。

　　例1：某地民兵预备役组织越野赛，需从总部将38件障碍物运往距总部3千米处，并从该处向前每隔500米，放置一件障碍物，已知一辆车一次能运4件障碍物，若用一辆车全部运完返回总部，则所运行的全部路程至少是多少千米？

　　分析与解：此题要运送的障碍物较多，要想很快找到一辆车在运完所有障碍物的同时走的路程又最少的.办法很难。此时，我们不妨先“退”到“不失去重要性的地方”，将问题简单化，题中38不能为4整除，依此情境，我们不妨假设若障碍物为5件，怎样运才能完成任务又使走的路程最少呢？由于要运的障碍物较少，通过计算不难得出：若一辆车装满后按顺序将障碍物送出放置并按此思路将障碍物放完，最后返回总部要行：(3+0.5×3)×2+(3+0.5×4)×2=19(千米)；而若此辆车装满后先将障碍物直接送至距总部最远处再回头按顺序放置，并按此思路将障碍物放完最后返回总部则要行：(3+0.5×4)×2+(3+0.5)×2=17(千米)，显然后者比前者要少行0.5×2×2=2(千米)，再与其它运法相比较，不难得出：17千米的路程的确为最少。

　　至此，原题的解题思路已变得相当明朗了：对于38件障碍物，一辆车势必至少要运10次，第一次先将4件障碍物送至距总部最远处放置再回到总部需行：[3+0.5×(38－1)]×2=43(千米)，以后每次比前次要少行0.5×4×2=4(千米)，直至第十次此辆车只装2件障碍物送出放置好并回总部要行：(3+0.5)×2=7(千米)，至此一辆车全部运完障碍物并返回总部所运行的全部路程至少应为：43+39+35+31+27+23+19+15+11+7=250(千米)。

　　例2 在平面上画出100条直线，这些直线最多可把平面分成多少个小区域？

　　分析与解：一下子看出本题的计算方法或者结果都是很难的，我们不妨“退”到最简单的情况进行观察，逐步找到规律，然后得出答案来。

　　平面上如果没有直线，则整个平面就只有1个区域；如果画出第1条直线，则平面被分成2个区域，比刚才增加了1个区域；如果再画1条直线，则共有2条直线，平面最多可以被分成4个区域（要想使分成的区域尽可能多，就应该使所画的直线与前面已画的直线既不平行又无三线共点的情况发生），比刚才又增加了2个区域；如果再画第3条直线，则平面最多可以被分成7个区域，又比刚才又增加了3个区域，……，依此类推，当画出第k条直线时，平面将最多可以增加k个区域，这样观察得出的规律正确吗？

　　显然，如果要使分得的区域尽可能的多，画的这些直线应满足两个条件：（1）任何两条直线都不平行；（2）任何三条直线都不经过同一个点，即没有三条共点的情况出现。

　　事实上，当平面上已经有了（k－1）条直线时，如果再画出第k条直线，则直线将与前面画出的（k－1）条直线都相交且无三线共点，于是这条直线被前（k－1）条直线分成了k段，由于每段都把它所经过的平面区域分成了两个区域，所以共计增加了k个区域。故在平面上画出100条直线，这些直线最多可以把平面分成1+1+2+3+…+100=5051（个）区域。

　　例3 有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到；又已知当天任意的三个顾客中，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到。

　　分析与解：顾客人数为n=1，2时，不能提供一般情况的启示，因为最本质的条件“任意3个顾客中，至少有两个在商场里相遇”没有用上。考虑n=3。

　　当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不忙开广播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见第一次广播应在第一个顾客将离而未离商场之前。

　　第一次开播时，第二、三位顾客可能到了也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播应在第三个顾客进来之后。

　　现在的问题是，第二个顾客会不会在第一个顾客离去之后才进来，而又在第三个顾客进来之前就离开，若这样，他就没有听到任何一次广播了。但这是不会发生的，根据“当天任意的三个顾客中，至少有两个在商场里相遇”，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。

　　所以，商场只要广播两次就够了：第一次开播在第一个顾客即离开之时，第二次开播在最后一个顾客进来之时。

　　这个思路对任意的n≥3也成立。设第一个离去的顾客为A，最后一个进来的顾客为B，若按上述方法广播两次之后，仍有顾客C没有听见，则C必在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未相遇。这与已知条件矛盾。所以，商场两次广播之后，全体顾客都听到了。

　　由以上三例可以看出，运用特殊化策略解题，可采用从简单化、特殊化入手，化归为简单情形、特殊情形，通过对简单情形、特殊情形的分析、观察与处理，从而获得对复杂问题、一般问题的解决。

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