试论数学思想方法研究意义

　　【编者按】数学同其它各门学科一样，在其发展的过程中，形成了一系列适合于自身特点的思想方法。这些思想方法不断为人们所掌握和运用，并创造出一个又一个成果。过去对数学成果本身的收集、分析与说明较为重视，发表了许多论著，这是有益的。但是，由于种种原因，对数学思想方法的考察与研究却有所忽略。而正因为对数学思想方法缺乏应有的重视，所以，在一定程度上影响了数学成果的取得和数学人才的培养。因此，把数学思想方法作为一个独立领域加以研究，从方法论的高度，探讨其对象、内容、功能以及孕育、形成与发展的规律，无疑对数学的发展与哲学的研究，都是有重要意义的。

试论数学思想方法研究意义

　　从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法研究的意义缺乏应有的认识，那么，研究数学思想方法到底有何意义呢?

　　一、有利于培养数学能力与改革数学教育

　　我们知道，数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养。事实上，我们说一个人数学能力强，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要是说他运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。伽罗华之所以创立群论，罗巴切夫斯基之所以创立非欧几何，维纳之所以创立控制论，不仅仅在于数学知识的积累与记忆，而主要是由于他们在数学思想方法上实行了革命性的变革所致。对一个科技工作者来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是数学能力的集中体现。在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加之传统的考试制度，所以出现了“高分低能”的现象。要想改变这种状况，就要狠抓数学思想方法的研究与教学，并把它作为数学教育改革的重要内容，坚持下去，取得成效。

　　二、有利于充分发挥数学的功能

　　数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正的认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态。马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢?我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的`思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。为什么往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平呢?其根据也在这里。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域与部门做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思想和非凡的运用数学解决实际问题的才能。这也是他之所以能成为数学史上著名应用数学大师的根本原因所在。

　　三、有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律

　　在数学思想方法的研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨。他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学-其中最重要的部分是微积分-本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。事实上，微积分中所运用的思想方法，实质上就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿-莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿-莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此，我们可以说，牛顿-莱布厄茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。

　　关于通过数学思想方法的研究，可更加全面把握数学规律的问题，前面已经讲过，它可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识，另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明：对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径;树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的规律，显然具有启示意义和参考价值。

　　总之，数学思想方法的研究，具有十分重要而深远的意义。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。

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