数学函数求值域的好方法

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数学函数求值域的好方法

　　函数值域是函数的重要性质之一，有关函数值域的问题教材中介绍得很少，而求函数的值域较求定义域更困难、更灵活，没有较完整较规范的方法，所以学生难以掌握。本文借助初等函数等有关知识，归纳出求函数值域的方法。

数学函数求值域的好方法

　　数学函数求值域的好方法

　　一.观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3｝.

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

　　这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y1｝)

　　三.配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

　　配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

　　四.判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y0)。

　　五.最值法

　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。

　　六.图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　　解：原函数化为-2x+1(x≤1)y=3(-12)显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。

　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

　　七.单调法

　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

　　例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

　　解：设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。

　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

　　练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

　　八.换元法

　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

　　例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

　　解：设t=√2x+1(t≥0),则x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

　　练习：求函数y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

　　九.构造法

　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

　　例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的值域为{y|y≥5｝。

　　点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

　　练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

　　十.比例法

　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

　　例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。函数的值域为{z|z≥1｝.

　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

　　十一.利用多项式的除法

　　例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)

　　十二.不等式法

　　例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)0，1-x≠0。解得：01或y

　　数学函数求值域的好方法

　　给出函数的解析式和定义域可以求出其值域，有时我们也会遇到给出函数式并给出值域，要求其函数式中参数的取值范围，很多学生遇到这类问题都会无从下手，其实有些问题虽然不是直接求函数的值域，而是已知函数的值域，求其函数中某个参数的范围，但仍然离不开求值域的常用方法。学习中发现逆向思维还不会，所以碰到已知函数的某些性质，求函数式里的参数问题就一筹莫展。

　　对于例1：已知函数的值域为，求的取值范围。要大部分学生认为首先要开口向上，然后满足。其实，这里学生犯的错误是没理解清楚值域为的真正含义，它是要求值域从0开始全部都要取到，不能多也不能少。当时，不满足题意，所以只有时满足。

　　对于例3:已知函数的值域为，求的取值范围。

　　对这一题，求偶次根式下函数的定义域，要求是根号里的函数式的值要达到大于或等于0，在未指明函数定义域情况下，认为是错的。这可以看作是一个复合函数，若设，则≥0是求定义域的必然要求，的值的范围是能包含[0，+∞）的集合，要满足值域为[0，+∞），要能够取遍非负实数，所以且开口向上。

　　听课的老师普遍认为这一节课只安排例1、例3，效果会更好。本节课的教学实例说明，已知函数的值域求参数是一个较复杂的问题，要根据不同的函数形式选择适当的方法求解。从中也说明学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验。

　　数学函数求值域的好方法

　　1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）

　　2、常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

　　3、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

　　4、换元法。对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。

　　数学函数求值域的好方法

　　一、直接观察法

　　对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

　　例1 ：求函数y=3-■的值域。

　　解：因为■≥0，

　　所以-■≤0，3-■≤3，

　　故函数的值域是: （-∞,3]。

　　二、图象法

　　利用函数的图象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的图象。

　　例2：求函数y＝x■-x-6（如图所示）,x∈-2,4的值域。

　　解：由函数图象得所求函数的值域为-6.25,6.

　　三、配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。

　　例3：求函数y=■的值域。

　　解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。

　　四、判别式法

　　若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法.通常先将分式转化为一元二次方程，再由?驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域.

　　例4：求函数y=■的值域。

　　解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以

　　（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，

　　解得-■≤y≤1。

　　（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。

　　综上，原函数的值域为[-■,1)。

　　评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=■的函数。

　　五、换元法

　　通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。

　　例5 ：求函数y=x+■的值域。

　　解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，

　　所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，

　　由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。

　　六、函数单调性法

　　首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域.常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。

　　例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。

　　解：令y■=2■，y■=log■■,

　　则y■,y■在[2，10]上都是增函数,

　　所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。

　　当x=2时，y■=2■+log■■=■；

　　当x=10时，y■=2■+log■■=33，

　　故所求函数的值域为：■,33。

　　例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。

　　解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。

　　七、分离常数法

　　此方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑,将分子进行常数分离。

　　例8：求函数y=■的值域。

　　解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。

　　评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。

　　八、函数有界性法

　　利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值.

　　例9：求函数y=■的值域。

　　解：由原函数式可得e■=■，

　　e■＞0，

　　■＞0，

　　解得-1＜y＜1。

　　故所求函数的值域为(-1,1)。

　　求值域的方法篇3

　　1. 观察法

　　对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

　　例1.求函数y= 的值域。

　　解：x≠0， ≠0

　　显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。

　　2. 二次函数法

　　例2.已知函数f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。

　　(1)若f(x)的定义域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围；

　　(2)若f(x)的值域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围。

　　解：（1）依题意(a －1）x +(a+1)x+1＞0对一切x∈R恒成立，

　　当a －1≠0时，其充要条件是

　　a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0

　　即a＞1或a＜-1a＞或a＜-1

　　a＜-1或a＞。

　　又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意。

　　故a≤－1或a＞为所求。

　　(2)依题意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又当a －1=0即a=1时t=2x+1符合题意，而a=-1时不合题意，1≤a≤ 为所求。

　　3. 配方法

　　配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

　　例3.求函数y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。

　　解：将函数配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函数的性质可知：

　　当x=1时，y =4

　　当x=-1时，y =8

　　故函数的值域是［4，8］。

　　4. 反函数法

　　直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

　　例4.求函数y= 值域。

　　解：由原函数式可得：x=

　　则其反函数为：y=

　　其定义域为x≠

　　故所求函数的值域为（-∞，）。

　　5. 函数有界性法

　　直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

　　例5.求函数y= 的值域。

　　解：由原函数式可得e =

　　e ＞0，＞0，

　　解得-1＜y＜1。

　　故所求函数的值域为(-1，1)。

　　6. 换元法

　　通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

　　例6.函数y=x+ 的值域是( )。

　　A. (－∞，1］

　　B. (－∞，－1］

　　C. R

　　D .［1，+∞）

　　解：令 =t(t≥0)，则x= 。

　　y= +t=－ (t－1) +1≤1

　　值域为(－∞，1］。

　　答案：A。

　　总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

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