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高三数学数列章末检测题及答案

时间:2021-06-23 15:37:13 数学 我要投稿

高三数学数列章末检测题及答案

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

高三数学数列章末检测题及答案

  1.已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则S9=(  )

  A.24           B.27

  C.15           D.54

  解析 B 由a3+a4+a8=9,得3(a1+4d)=9,即a5=3.则S9=9a1+a92=9a5=27.

  2.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为(  )

  A.14   B.15

  C.16   D.17

  解析 C ∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-13a11=(a8+d)

  -13(a8+3d)=23a8=16.

  3.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值是(  )

  A.692   B.69

  C.93   D.189

  解析 C 由a2a4=a23=144得a3=12(a3=-12舍去),又a1=3,各项均为正数,则

  q=2.所以S5=a11-q51-q=3×1-321-2=93.

  4.在数列1,2,7,10,13,4,…中,219是这个数列的第几项(  )

  A.16   B.24

  C.26   D.28

  解析 C 因为a1=1=1,a2=2=4,a3=7,a4=10,a5=13,a6=4=16,…,

  所以an=3n-2.令an=3n-2=219=76,得n=26.故选C.

  5.已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,s12>0,则在数列中绝对值最小的项为(  )

  A.第5项   B.第6项

  C.第7项   D.第8项

  解析 C ∵S13<0,∴a1+a13=2a7<0,又s12>0,

  ∴a1+a12=a6+a7>0,∴a6>0,且|a6|>|a7|.故选C.

  6.122-1+132-1+142-1+…+1n+12-1的值为(  )

  A.n+12n+2   B.34-n+12n+2

  C.34-121n+1+1n+2   D.32-1n+1+1n+2

  解析 C ∵1n+12-1=1n2+2n=1nn+2=121n-1n+2,

  ∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2

  =1232-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2.

  7.正项等比数列{an}中,若log2(a2a98)=4,则a40a60等于(  )

  A.-16   B.10

  C.16   D.256

  解析 C 由log2(a2a98)=4,得a2a98=24=16,

  则a40a60=a2a98=16.

  8.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),则f(n)=(  )

  A.27(8n-1)   B.27(8n+1-1)

  C.27(8n+3-1)   D.27(8n+4-1)

  解析 D ∵数列1,4,7,10,…,3n+10共有n+4项,∴f(n)=2[1-23n+4]1-23=27(8n+4-1).

  9.△ABC中,tan A是以-4为第三项,-1为第七项的等差数列的公差,tan B是以12为

  第三项,4为第六项的等比数列的公比,则该三角形的形状是(  )

  A.钝角三角形   B.锐角三角形

  C.等腰直角三角形   D.以上均错

  解析 B 由题意 知,tan A=-1--47-3=34>0.

  又∵tan3B=412=8,∴tan B=2>0,  ∴A、B均为锐角.

  又∵tan(A+B)=34+21-34×2=-112<0,∴A+B为钝角,即C为锐角,

  ∴△ABC为锐角三角形.

  10.在等差数列{an}中,前n项和为Sn=nm,前m项和Sm=mn,其中m≠n,则Sm+n的值(  )

  A.大于4   B.等于4

  C.小于4      D.大于2且小于4

  解析 A 由题意可设Sk=ak2+bk(其中k为正整数),

  则an2+bn=nm,am2+bm=mn,解得a=1mn,b=0,∴Sk=k2mn,

  ∴Sm+n=m+n2mn>4mnmn=4.

  11.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1

  和公差d变化时,a5+a8+ a11是一个定值,则下列选项中为定值的是(  )

  A.S17   B.S18

  C.S15   D.S14

  解析 C 由a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8是定值,可知a8是定值.所以

  S15=15a1+a152=15a8是定值.

  12.数列{an}的通项公式an=1nn+1,其前n项和为910,则在平面直角坐标系中,直线

  (n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为(  )

  A.-10   B.-9

  C.10   D.9

  解析 B ∵an=1n-1n+1, ∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=nn+1,

  由nn+1=910,得n=9,∴直线方程为10x+y+9=0,其在y轴上的截距为-9.

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

  13.设Sn是等差 数列{an}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=________.

  解析 ∵a1=1,a4=7,∴d=7-14-1=2.

  ∴S5=5a1+5×5-12d=5×1+5×42×2=25.

  【答案】 25

  14.若数列{an}满足关系a1=3,an+1=2an+1,则该数列的.通项公式为________.

  解析 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),

  ∴数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列,

  ∴an+1=42n-1,∴an=2n+1-1.

  【答案】 an=2n+1-1

  15.(20 11北京高考)在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.

  解析 ∵数列{an}为等比数列,

  ∴a4=12q3=-4,q=-2;an=12(-2)n-1,  |an|=122n-1,

  由等比数列前n项和公式得 |a1|+|a2|+…+|an|=121-2n1-2=-12+122n=2n-1-12.

  【答案】 -2 2n-1-12

  16.给定:an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使a1a2…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的“ 企盼数”,则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M=________.

  解析 设a1a2…ak=log23log34…logk(k+1)logk+1(k+2)=log2(k+2)为整数m,

  则k+2=2m,

  ∴k=2m-2.

  又1≤k≤2 013,

  ∴1≤2m-2≤2 013,

  ∴2≤m≤10.

  ∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为

  M=(22-2)+(23-2)+…+(210-2)

  =(22+23+…+210)-18

  =22×1-291-2-18

  =2 026.

  【答案】 2 026

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.(10分)已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a,前k项的和Sk=2 550,求通项公式an及k的值.

  解析 法一:由题意知,

  a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2 550.

  ∵数列{an}是等差数列,

  ∴a+3a=2×4,

  ∴a1=a=2,公差d=a2-a1=2,

  ∴an=2+2(n-1)=2n.

  又∵Sk=ka1+kk-12d,

  即k2+kk-122=2 550,整理,

  得k2+k-2 550=0,

  解得k1=50, k2=-51(舍去),

  ∴an=2n,k=50.

  法二:由法一,得a1=a=2,d=2,

  ∴an=2+2(n-1)=2n,

  ∴Sn=na1+an2=n2+2n2=n 2+n.

  又∵Sk=2 550,

  ∴k2+k=2 550,

  即k2+k-2 550=0,

  解得k=50(k=-51舍去).

  ∴an=2n,k=50.

  18.(12分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n,求数列{an}的通项公式;新课标

  (2)已知数列{an}的前n项和为Sn=3+2n,求an.

  解析 (1)n=1时,a1=S1=1.

  当n≥2时,

  an=Sn-Sn-1

  =3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)

  = 6n-5,

  因为a1也适合上式,

  所以通项公式为an=6n-5.

  (2)当n=1时,a1=S1=3+2=5.

  当n≥2时,

  an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.

  因为n=1时,不符合an=2n-1,

  所以数列{an}的通项公式为

  an=5,  n=1,2n-1,  n≥2.

  19.(12分)有10台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.若同时投入至收割完毕需用24小时,但现在它们是每隔相同的时间依次投入工作的,每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍.求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间?

  解析 设从第一台投入工作起,这10台收割机工作的时间依次为a1,a2,a3,…,a10小时,依题意,{an}组成一个等差数列,每台收割机每小时工作效率是1240,且有

  a1240+a2240+…+a10240=1,    ①a1=5a10,  ②

  由①得,a1+a2+…+a10=240.

  ∵数列{an}是等差数列,

  ∴a1+a10×102=240,即a1+a10=48.③

  将②③联立,解得a1=40(小时),即用这种方 法收割完这片土地上的庄稼共需40小时.

  20.(12分)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1.

  (1)求证:{an+1+2an}是等比数列;

  (2)求数列{an}的通项公式;

  (3)设3nbn=n(3n-an),求|b1|+|b2|+…+|bn|.

  解析 (1)∵an+1=an+6an-1,

  ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1).

  又a1=5,a2=5,

  ∴a2+2a1=15,

  ∴an+an+1≠0,

  ∴an+1+2anan+2an-1=3,

  ∴数列{an+1+2an}是以15为首项,

  3为公比的等比数列.

  (2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,

  即an+1=-2an+5×3n,

  ∴an+1-3n+1=-2(an-3n).

  又∵a1-3=2,

  ∴an-3n≠0,

  ∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

  ∴an-3n=2×(-2)n-1,

  即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).

  (3)由(2)及3nbn= n(3n-an),可得

  3nbn=-n(an-3n)=-n[2×(-2)n-1]=n(-2)n,

  ∴bn=n-23n,

  ∴|bn|=n23n.

  ∴Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|

  =23+2×232+…+n×23n,①

  ①×23,得

  23Tn=232+2×233+…+(n-1)×23n+n×23n+1,②

  ①-②得

  13Tn=23+232+…+23n-n×23n+1

  =2-3×23n+1-n23n+1

  =2-(n+3)23n+1,

  ∴Tn=6-2(n+3)23n.

  21.(12分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=12.

  (1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;

  (2)设an=nf(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2;

  (3)设bn=(9-n)fn+1fn,n∈N*,Sn为{bn}的前n项和,当Sn最大时,求n的值.

  解析 (1)令x=n,y=1,

  得f(n+1)=f(n)f(1)=12f(n),

  ∴{f(n)}是首项为12,公比为12的等比数列,

  即f(n)=12n.

  (2)设Tn为{an}的前n项和,

  ∵an=nf(n)=n12n,

  ∴Tn=12+2×122+3×123+…+n×12n,

  12Tn=122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1,

  两式相减得

  12Tn=12+122+…+12n-n×12n+1,

  整理,得Tn=2-12n-1-n×12n<2.

  (3)∵f(n)=12n,

  ∴bn=(9-n)fn+1fn

  =(9-n)12n+112n=9-n2,

  ∴当n≤8时,bn>0;当n=9时,bn=0;

  当n>9时,bn<0.

  ∴当n=8或9时,Sn取到最大值.

  22. (12分)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3(n∈N*) .

  (1)求数列{an}的通项;

  (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

  解析 (1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,①

  ∴a1=13,

  a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13(n≥2),②

  ①-②得3n-1an=n3-n-13=13(n≥2),

  化简得an=13n(n≥2).

  显然a1=13也满足上式,故an=13n(n∈N*).

  (2)由①得bn=n3n.

  于是Sn=13+232+333+…+n3n,③

  3Sn=132+233+334+…+n3n+1,④

  ③-④得-2Sn=3+32+33+…+3n-n3n+1,

  即-2Sn=3-3n+11-3-n3n+1,

  Sn=n23n+1-143n+1+34.

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