数学高二归纳推理的课后练习题与答案
一、选择题
1.关于归纳推理，下列说法正确的是()
A.归纳推理是一般到一般的推理
B.归纳推理是一般到个别的推理
C.归纳推理的结论一定是正确的
D.归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定.故应选D.
2.下列推理是归纳推理的是()
A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积r2，猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=ab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
[答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
3.数列{an}：2,5,11,20，x,47，中的x等于()
A.28
B.32
C.33
D.27
[答案] B
[解析] 因为5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33，猜测x-20=34,47-x=35，推知x=32.故应选B.
4.在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，则猜想an是()
A.2n-2-12
B.2n-2
C.2n-1+1
D.2n+1-4
[答案] B
[解析] ∵a1=0=21-2，
a2=2a1+2=2=22-2，
a3=2a2+2=4+2=6=23-2，
a4=2a3+2=12+2=14=24-2，
猜想an=2n-2.
故应选B.
5.某人为了观看2015年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2015年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap[(1+p)7-(1+p)]
D.ap[(1+p)8-(1+p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息为a(1+p).
到2007年5月10日存款及利息为
a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]
到2008年5月10日存款及利息为
a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]
所以到2015年5月10日存款及利息为
a[(1+p)7+(1+p)6++(1+p)]
=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)
=ap[(1+p)8-(1+p)].
故应选D.
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n2)，而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()
A.2(n+1)2
B.2n(n+1)
C.22n-1
D.22n-1
[答案] B
[解析] 因为Sn=n2an，a1=1，
所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232，
S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243，
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
a4=a1+a2+a315=110=254.
所以猜想an=2n(n+1)，故应选B.
7.n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2016到2015箭头的方向依次为()
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2016到2015为，故应选C.
8.(2016山东文，10)观察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cosx)=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
g(-x)=-g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查.
9.根据给出的数塔猜测1234569+7等于()
19+2=11
129+3=111
1239+4=1111
12349+5=11111
123459+6=111111
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.
10.把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是()
A.27
B.28
C.29
D.30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1+2+3+4++n=n(n+1)2个，第七个三角形数为7(7+1)2=28.
二、填空题
11.观察下列由火柴杆拼成的.一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根;第n个图形中，火柴杆有________根.
[答案] 13,3n+1
[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根猜想第n个图形有3n+1根.
12.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中，可得一般规律是__________________.
[答案] n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2
[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n-1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n-1个数相加，故第n个式子为：
n+(n+1)+(n+2)++{n+[(2n-1)-1]}
=(2n-1)2，
即n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2.
13.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________.
[答案] S=4(n-1)(n2)
[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时，共有S=8个;每条边上有4个圆圈时，共有S=12个.可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S=4(n-1)(n2).
14.(2009浙江理，15)观察下列等式：
C15+C55=23-2，
C19+C59+C99=27+23，
C113+C513+C913+C1313=211-25，
C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27，
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于nN*，C14n+1+C54n+1+C94n+1++C4n+14n+1=__________________.
[答案] 24n-1+(-1)n22n-1
[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力
等式右端第一项指数3,7,11,15，构成的数列通项公式为an=4n-1，第二项指数1,3,5,7，的通项公式bn=2n-1，两项中间等号正、负相间出现，右端=24n-1+(-1)n22n-1.
三、解答题
15.在△ABC中，不等式1A+1B+1C成立，
在四边形ABCD中，不等式1A+1B+1C+1D成立，
在五边形ABCDE中，不等式1A+1B+1C+1D+1E成立，猜想在n边形A1A2An中，有怎样的不等式成立?
[解析] 根据已知特殊的数值：9、162、253，，总结归纳出一般性的规律：n2(n-2)3).
在n边形A1A2An中：1A1+1A2++1Ann2(n-2)3).
16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.
平面区域 顶点数 边数 区域数
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?
[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
平面区域 顶点数 边数 区域数 关系
(1) 3 3 2 3+2-3=2
(2) 8 12 6 8+6-12=2
(3) 6 9 5 6+5-9=2
(4) 10 15 7 10+7-15=2
结论 V E F V+F-E=2
推广 999 E 999 E=999+999-2
=1996
其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V+F-E=2.
故可猜想此平面图可能有1996条边.
17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式.
[解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p，
b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.
b3=ab2+a4p100a+a4
=1100453r+15p+452p+4253P，
归纳得bn=110045nr+15p+452p++4n-15nP.
18.设f(n)=n2+n+41，nN+，计算f(1)，f(2)，f(3)，，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.
[解析] f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，
f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，
f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，
f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，
f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.
即：当n取任何非负整数时f(n)=n2+n+41的值为质数.
但是当n=40时，f(40)=402+40+41=1681为合数.
所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确.
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