几何的数学定义是什么

　　几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。下面是百分网小编给大家整理的数学几何的简介，希望能帮到大家!

几何的数学定义是什么

　　几何的数学定义

　　几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

　　几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。常见定理有勾股定理，欧拉定理，斯图尔特定理等。

　　几何基础

　　公理系统原则

　　人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。

　　希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

　　第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

　　第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

　　第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

　　这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。

　　意义

　　公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。

　　因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。

　　就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。

　　几何作图

　　尺规作图

　　公元前5世纪，雅典的“智者学派”以上述三大问题为中心，开展研究。正因为不能用尺规来解决，常常使人闯入新的领域中去。例如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的'发现。

　　17世纪解析几何建立以后，尺规作图的可能性才有了准则。1837年P.L.旺策尔给出三等分任意角和倍立方不可能用尺规作图的证明,1882年C.L.F.von林德曼证明了π的超越性，化圆为方的不可能性也得以确立。1895年(C.)F.克莱因总结了前人的研究，著《几何三大问题》(中译本，1930)一书，给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案。

　　虽然如此，还是有许多人不管这些证明，想压倒前人所有的工作。他们宣称自己已解决了三大问题中的某一个，实际上他们并不了解所设的条件和不可解的道理。三大问题不能解决，关键在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面为了叙述简单，将原题稍加修改。在直尺边缘上添加一点p，命尺端为O。设所要三等分的角是∠ACB，以C为心，Op为半径作半圆交角边于A、B;使O点在CA延线上移动，p点在圆周上移动，当尺通过B时，联OpB(见图)。由于Op=pC=CB，易知。

　　∠COB=1/3∠ACB

　　这里使用的工具已不限于尺规，而且作图方法也与公设不合。另外两个问题也可以用别的工具解决。

　　三大问题

　　古希腊几何作图的三大问题是：

　　①化圆为方，求作一正方形,使其面积等于一已知圆。

　　②三等分任意角;③倍立方，求作一立方体，使其体积是一已知立方体的两倍。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能作直线的尺)和圆规。

　　经过两千多年的探索，最后才证明在尺规的限制下，根本不可能作出所要求的图形。

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