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2016小升初数学常考题型与解题思路
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1.盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量。
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
2.工程问题
基本公式:
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路:
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间。
关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
3.几何面积
基本思路:
在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法:
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
4.综合行程
基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。
基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题:确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
主要方法:画线段图法
基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。
5.鸡兔同笼问题
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数——总脚数)÷(兔脚数——鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
行程问题
行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题,不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中,都拥有非常重要的地位。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”:
这三个量是: 路程(s)、速度(v)、时间(t)
1.简单行程: 路程 = 速度 × 时间
2.相遇问题: 路程和 = 速度和 × 时间
3.追击问题: 路程差 = 速度差 × 时间
基本思路:
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评:合久必分,分久必合。
牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
如“多人行程问题”,实际最常见的是“三人行程”
例1:有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米。在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?
分析:这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为(40+36)×3=228(米)
第一个追击:这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228÷(38-36)=114(分钟)
第二个相遇:在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为(40+38)×114=8892(米)
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰。
总之,行程问题是重点,也是难点。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”,解决行程问题并非难事!
工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
1)一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?
解题思路:
设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7÷(1/6-1/8)=168(个)
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算:
两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3
由此可知,甲比乙多完成总工作量的 4-3 / 4+3 =1/7
所以,这批零件共有 24÷1/7=168(个)
2)一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?
解题思路:
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知
每小时的排水量为 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知:一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15,又因为在2小时内,每个进水管的注水量为 1×2,所以,2小时内注满一池水。
至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2)=8.5≈9(个)
图形求面积
小升初中数学图形求面积主要分为两大类:
一、规则图形求面积,包括平面图形和立体图形;
二、不规则图形求面积(重难点);
三角形:S=ah÷2 ;平行四边形:S=ah
正方形:S=a2 ;长方形:S=ab
梯形:S=(a+b)h÷2 ;圆形:S=πr2
就以上的公式,在实际运用时我们需要思考:
如果三角形和平行四边形等底等高,那么它们的面积是什么关系呢?
S平行四边形= 2S三角形
那如果三角形和平行四边形的底和面积都相等,它们的高又是什么关系呢?
h三角形=2h平行四边形
立体图形求面积
正方体:S=6a2;长方体:S=2(ab+bc+ac)
圆柱:S=2πr2+πdh
在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见下图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
这个三角形被分成三个不同的部分,底和高也不知道,也不能直接看出结果,那怎样才能求出阴影部分占整个图形的几分之几呢?
当遇到组合图形或不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。
最后,为大家总结一下数学图形求面积的考点学习技巧
1.规则图形求面积(平面图形、立体图形),记住公式就行。
2.求不规则图形的时候,运用拼补法将不规则图形转换成规则图形。
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