小升初奥数知识点讲解：余数问题与完全平方数

　　小升初奥数知识点讲解：余数问题

　　一、同余的定义：

小升初奥数知识点讲解：余数问题与完全平方数

　　①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。

　　②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a≡b(d )，读作a同余于b模。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a(d )；

　　②对称性：若a≡b(d )，则b≡a(d )；

　　③传递性：若a≡b(d )，b≡c(d )，则a≡ c(d )；

　　④和差性：若a≡b(d )，c≡d(d )，则a+c≡b+d(d )，a-c≡b-d(d )；

　　⑤相乘性：若a≡ b(d )，c≡d(d )，则a×c≡ b×d(d )；

　　⑥乘方性：若a≡b(d )，则an≡bn(d )；

　　⑦同倍性:若a≡ b(d )，整数c，则a×c≡ b×c(d ×c)；

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的.和，则M≡n(d 9)或（d 3）；

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡-X或M≡11-（X-）(d 11)；

　　五、费尔马小定理：

　　如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(d p)。

　　完全平方数特征：

　　1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

　　2. 除以3余0或余1；反之不成立。

　　3. 除以4余0或余1；反之不成立。

　　4. 约数个数为奇数；反之成立。

　　5. 奇数的平方的`十位数字为偶数；反之不成立。

　　6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

　　7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

　　平方差公式：X2-2=（X-）（X+）

　　完全平方和公式：（X+）2=X2+2X+2

　　完全平方差公式：（X-）2=X2-2X+2

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