2017年小升初数学知识点：鸡兔同笼问题
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基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数——总脚数)÷(兔脚数——鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
例、笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只?
解法1 假设法
假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚(4×50=)200(只)，这与题中已知140只不符，多出(200-140=)60(只)，多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是(60÷2=)30(只)，则兔的只数为(50-30=)20(只)。
解法2 公式法
让每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有(140÷2=)70(只)，其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为(70-50=)20(个)，即兔有20只，则鸡有(50-20=)30(只)。
实际上我们用了如下的公式。
脚数和÷2-头数和=兔子数。
典型例题
例【1】 鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只?
分析 题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢?因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2=17(只)。所以鸡有17只，兔子有28只。当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。
解法一 假设全是兔子。
(4×45-146)÷(4-2)=17(只)——鸡
45-17=28(只)——兔
解法二 假设全是鸡。
(146-2×45)÷(4-2)=28(只)——兔
45-28=17(只)——鸡
答：鸡有17只，兔子有28只。
例【2】 盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个?
分析 假设全部都是大钢珠，则共重：11×30=330(克);
比原来的克数重：330-266=64(克);
小钢珠的个数是：64÷(11-7)=16(个)
大钢珠的个数是：30-16=14(个)
同样，也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。
解法一 假设全是大钢珠。
(30×11-266)÷(11-7)=16(个)——小钢珠
30-16=14(个)——大钢珠
解法二 假设全是小钢珠。
(266-30×7)÷(11-7)=14(个)——大钢珠
30-14=16(个)——小钢珠
例【3】 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?
分析 先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。
解 10分一张的邮票的张数有：
(2000-1880)÷(20-10)=12(张)
20分一张的邮票张数有：
100-12=88(张)
答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。
例【4】 学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元?
分析 根据“每个足球比每个排球贵3元”可知，当把买2个足球换成买2个排球时，买球共花的钱就会比原来少6元，现在买的是(3+2)个排球，因此，可以求出每个排球的价钱。
解 每个排球的价钱：
(111-3×2)÷(3+2)=21(元)
每个足球的价钱：
21+3=24(元)
答：每个排球的价钱是21元，每个足球的`价钱是24元。
财务小管家：1. 瓷器商店委托搬运站运送800只花瓶，双方商定每只运费是0.35元，如果打破1只，不但不计运费，而且要赔偿2.50元，结果运到目的地后，搬运站共得运费268.6元，求打破了几只花瓶?
2. 蓝墨水和红墨水，以前都是3角钱一瓶，王营小学每学期都花12元买若干瓶.现在每瓶蓝墨水涨价5分，每瓶红墨水涨价3分，虽然买的两种墨水瓶数还和各学期相等，但比每学期都多付1.8元.该校每学期买两种墨水各多少瓶?
例【5】 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元?
分析 根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”，可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”，买3支钢笔的价钱可以买(4×3)支圆珠笔。这样，我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。
解 一支圆珠笔的价钱：
5+(8÷2)×3=17(支)
17÷17=1(元)
一支钢笔的价钱：
1×8÷2=4(元)
答：一支钢笔4元，一支圆珠笔1元。
新型鸡兔同笼
某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.
例题1：在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有190个轮子。其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆?
解：假设60辆都是汽车，则有轮子(60×4=)240个，比已知条件多出(240-190=)50个，这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时，就多出2个轮子，所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子，就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。
摩托车：(60×4-190)÷(4-2)=25(辆)
汽车：60-25=35(辆)。
例题2：某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明得72分，他做对多少道题?
解：假设15道全对了，则得(8×15=)120分，比已知条件多(120-72=)48分，这是因为每一道错题假设为对题时，相差(8+4)=12分，所以求出来的48分中包含几个12，就是做错题的数量。
做错题：(8×15-72)÷(8+4)=4(道)
做对题：15-4=11(道)。
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