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高二数学期末考试题2016
孩子成功教育从好习惯培养开始，下面是小编整理的高二数学期末考试题2016，大家一起来看看吧。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是( )
A.若ab=0，则a=0 B.若a≠0，则ab≠0 C.若ab=0，则a≠0 D.若ab≠0，则a≠0
2.椭圆 + =1的长轴长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.双曲线 =1的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减 B.x=﹣2是函数f(x)极小值点
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数 D.x=1是函数f(x)的极大值点
7.已知双曲线的离心率e= ，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
8.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
9.若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
10.已知命题p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：∃x0∈(0，+∞)，x >x ，则下列命题中的真命题是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
12.过点M(2，﹣1)作斜率为 的直线与椭圆 + =1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13.抛物线x2=4y的焦点坐标为 .
14.已知命题p：∃x0∈R，3 =5，则￢p为 .
15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 .
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.
18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.
20.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
21.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，点P(﹣ ，1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
23.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是( )
A.若ab=0，则a=0 B.若a≠0，则ab≠0 C.若ab=0，则a≠0 D.若ab≠0，则a≠0
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答.
【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，
所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，
故选D.
2.椭圆 + =1的长轴长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可.
【解答】解：椭圆 + =1的实轴长是：2a=6.
故选：D.
3.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
【考点】导数的运算.
【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可.
【解答】解：函数的导数f′(x)=2x+cosx，
则f′(0)=cos0=1，
故选：C.
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由a2<1解得﹣1
【解答】解：由a2<1解得﹣1
∴“a>1”是“a2<1”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5.双曲线 =1的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】利用双曲线的简单性质直接求解.
【解答】解：双曲线 =1的渐近线方为 ，
整理，得y= .
故选：C.
6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减 B.x=﹣2是函数f(x)极小值点
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数 D.x=1是函数f(x)的极大值点
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】本小题考查导数的运用;根据导数值与0的关系判断各个选项即可.
【解答】解：由图象得：﹣30，﹣2
∴f(x)在(﹣3，﹣2)递增，在(﹣2，﹣1)递减，
故选：A.
7.已知双曲线的离心率e= ，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1(a，b>0)，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程.
【解答】解：设双曲线的方程为 ﹣ =1(a，b>0)，
由题意可得e= = ，c=5，
可得a=3，b= =4，
即有双曲线的标准方程为 ﹣ =1.
故选：D.
8.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间.
【解答】解：函数的定义域为x>0
∵y′=lnx+1
令lnx+1<0得0
∴函数y=xlnx的单调递减区间是( 0， )，
故选：B.
9.若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可得m﹣1>3﹣m>0，解不等式即可得到所求范围.
【解答】解：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得m﹣1>3﹣m>0，
解得2
故选：C.
10.已知命题p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：∃x0∈(0，+∞)，x >x ，则下列命题中的真命题是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据∀x∈(0，+∞)，2x<3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假.
【解答】解：命题p：∀x∈(0，+∞)，2x>3x，是假命题，例如取x=2不成立;
命题q：∵∀x∈(0，+∞)，2x<3x，因此命题q是假命题，
∴只有(￢p)∧(￢q)是真命题.
故选：C.
11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质.
【分析】构造函数h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集.
【解答】解：令h(x)=f(x)g(x)，则h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数.
①∵当x<0时，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，∴h(x)在x<0时单调递增，
故函数h(x)在R上单调递增.
∵h(﹣3)=f(﹣3)g(﹣3)=0，
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(﹣3)，
∴x<﹣3.
②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h(3)=﹣h(﹣3)=0，
∴h(x)<0，的解集为(0，3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(﹣∞，﹣3)∪(0，3).
故选：A
12.过点M(2，﹣1)作斜率为 的直线与椭圆 + =1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为 = = ，即可求出椭圆的离心率.
【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
A，B两个不同点代入椭圆方程，可得 + =1， + =1，
作差整理可得 + =0，
∵斜率为 = = ，
∴a=2b，
∴c= = b，
∴e= = .
故选：C.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13.抛物线x2=4y的焦点坐标为 (0，1) .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标.
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0，1)
故答案为：(0，1)
14.已知命题p：∃x0∈R，3 =5，则￢p为 ∀x∈R，3x≠5 .
【考点】命题的否定.
【分析】由特称命题的否定方法可得结论.
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p：∀x∈R，3x≠5，
故答案为：∀x∈R，3x≠5.
15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 (0，0) .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x0为x+1=e﹣x的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P的坐标.
【解答】解：f(x)=xex的导数为f′(x)=(x+1)ex，
可得切线的斜率为(x0+1)ex0，
由切线与直线y=x+1平行，可得
(x0+1)ex0=1，
即有x0为x+1=e﹣x的解，
由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0.
即有x0=0，
则P的坐标为(0，0).
故答案为：(0，0).
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是 (﹣∞，﹣2) .
【考点】利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理.
【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解：(i)当a=0时，f(x)=﹣3x2+1，令f(x)=0，解得x= ，函数f(x)有两个零点，舍去.
(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+ )，令f′(x)=0，解得x=0或﹣ .
①当a<0时，﹣ >0，当x>﹣ 或x<0，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减;当00，此时函数f(x)单调递增.
∴故x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵函数f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(﹣ )=﹣ + ﹣1= ﹣1<0，
即a2>4得a>2(舍)或a<﹣2.
②当a>0时，﹣ <0，当x<﹣ 或x>0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增;
当﹣
∴x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵f(0)=﹣1<0，
∴函数f(x)在(0，+∞)上存在一个零点，此时不满足条件.
综上可得：实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2).
故答案为：(﹣∞，﹣2).
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k>0.命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k>1.由于p∧(￢q)为真命题，可得p为真命题，q为假命题.即可得出.
【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k>0.
命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k>1.
∵p∧(￢q)为真命题，∴p为真命题，q为假命题.
∴ ，解得0
∴实数k的取值范围是0
18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
【考点】二次函数的性质.
【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间;由最大值建立方程求出m的值，进而求出最小值.
【解答】解：f′(x)=6x2﹣12x，令f′(x)=0，则x=0或x=2，
x (﹣∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f(x) 正 0 负 0 正
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)在[﹣2，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，
∴f(x)max=f(0)=m=3，
即f(x)=2x3﹣6x2+3，
又∵f(﹣2)=﹣37，f(2)=﹣5，
∴f(x)min=f(﹣2)=﹣37.
19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)根据点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4(m2+1)≥4，由此能求出|AB|的最小值.
【解答】解：∵点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m
根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=4(m2+1)
∴|AB|=4(m2+1)≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4.
20.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;(2)求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f(x)的单调性，从而判断f(x)的范围.
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)f′(x)=1+ ﹣ = ，
当a≤1时，则2a﹣1≤1，
∴f′(x)>0在(1，+∞)恒成立，
函数f(x)递增，
∴f(x)≥f(1)=2(1﹣a)≥0.
21.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0从而求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1>1即a>1时，进而求出a的范围
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0
f′(x)= ，
令f′(x)=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①当2a﹣1≤1即a≤1时，
函数f'(x)≥0在[1，+∞)恒成立，
则f(x)在[1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(1)=2﹣2a≥0，
解得：a≤1;
②当2a﹣1>1即a>1时，
函数f(x)在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(2a﹣1)
综上所述：实数a的取值范围是a≤1.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，点P(﹣ ，1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
将P(﹣ ，1)代入椭圆方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞).
23.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
原点到直线 + =1的距离为 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣ <0，
即k<﹣ 或k> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞)
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