初中知识

学年九年级数学上期中试卷

时间:2024-09-20 15:51:06 初中知识 我要投稿
  • 相关推荐

2016学年九年级数学上期中试卷

  如果不想在世界上虚度一生,那就要学习一辈子。下面是小编整理的2016学年九年级数学上期中试卷,欢迎大家试做。

2016学年九年级数学上期中试卷

  一、选择题(每题3分,共24 分)

  1.化简 的结果是(  )

  A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9

  2.下列二次根式中与 是同类二次根式的是(  )

  A. B. C. D.

  3.下列命题中,真命题是(  )

  A. 两条对角线垂直的四边形是菱形

  B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形

  C. 两条对角线相等的四边形是矩形

  D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形

  4.估计﹣ +1的值(  )

  A. 在﹣3到﹣2之间 B. 在﹣4到﹣3之间 C. 在﹣5之﹣4间 D. 在﹣6到﹣5之间

  5.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是(  )

  A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根,也可能没有

  C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

  6.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是(  )

  A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形

  C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

  7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为(  )

  A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,

  8.如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:AC=3:5,则 的值为(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(每题2分,共20分)

  9.计算: ﹣ =      ;( +1)( ﹣1)=      .

  10.一元二次方程﹣x2=x的解是      .

  11.使代数式 有意义的x的取值范围是      .

  12.若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0,则k值是      ,另一个根是      .

  13.一组数据2,﹣1,0,x,1的极差是5,则x的值是      .

  14.已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6,腰长为3,则这个等腰梯形的周长为      .

  15.如图,已知P是 正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是      度.

  16.如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB的度数为      .

  17.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形,再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形,

  按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为2,则第2013个菱形的面积为      .

  18.如图,矩形纸片ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,EC=2cm,AD上有一点P,PA=6cm,过点P作PF⊥AD交BC于点F,将纸片折叠,使P与E重合,折痕交PF于Q,则线段PQ的长是      cm.

  三、解答题(共20分)

  19.计算:

  (1) ﹣ + ;

  (2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.

  20.解方程:

  (1)x2﹣12x﹣4=0;

  (2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

  四、解答题(共36分)

  21.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.

  22.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,且BD=BC,点E、F分别是DC、AB的中点.求证:

  (1)EF= AB;

  (2)过A点作AG∥EF,交BE的延长线于点G,则BE=GE.

  23.观察下列各式及其验证过程:

  =2 ,验证: = = =2 .

  =3 ,验证: = = =3 .

  (1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想 的变形结果并进行验证;

  (2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证;

  (3)用a(a为任意自然数,且a≥2)写出三次根式的类似规律,并给出验证说理过程.

  24.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.

  (1)猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论;

  (2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.

  25.平面直角坐标系中,有一Rt△ABC,且A(﹣1,3),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.

  (1)请写出旋转中心的坐标是      ,旋转角是      度;

  (2)以(1)中的旋转中心为中心,分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形.

  26.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动.

  (1)用含有t的代数式表示PE=      ;

  (2)探究:当t为何值时,四边形PQBE为梯形?

  (3)是否存在这样的点P和点Q,使△PQE为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由.

  参考答案

  一、选择题(每题3分,共24分)

  1.化简 的结果是(  )

  A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9

  考点: 二次根式的性质与化简.

  分析: 本题可先将根号内的数化简,再开方,根据开方的结果得出答案.

  解答: 解: = =3.

  故选:A.

  点评: 本题考查了二次根式的化简,解此类题目要注意式子为(﹣3)2的算术平方根,结果为非负数.

  2.下列二次根式中与 是同类二次根式的是(  )

  A. B. C. D.

  考点: 同类二次根式.

  分析: 运用化简根式的方法化简每个选项即可选出答案.

  解答: 解:A、 =2 ,故A选项是;

  B、 =3 ,故B选项不是;

  C、 =2 故C选项不是;

  D、 = ,故D选项不是.

  故选:A.

  点评: 本题主要考查了同类二次根式,解题的关键是熟记化简根式的方法.

  3.下列命题中,真命题是(  )

  A. 两条对角线垂直的四边形是菱形

  B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形

  C. 两 条对角线相等的四边形是矩形

  D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形

  考点: 菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.

  分析: 本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系.

  解答: 解:A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形,故选项A错误;

  B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形,故选项B错误;

  C、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故选项C错误;

  D、根据矩形的判定定理,两条对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故选项D正确;

  故选D.

  点评: 本题考查的是普通概念,熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备.

  4.估计﹣ +1的值(  )

  A. 在﹣3到﹣2之间 B. 在﹣4到﹣3之间 C. 在﹣5之﹣4间 D. 在﹣6到﹣5之间

  考点: 估算无理数的大小.

  分析: 先求出 的范围,再求出﹣ +1的范围,即可得出选项.

  解答: 解:∵3< <4,

  ∴﹣3>﹣ >﹣4,

  ∴﹣2>﹣ +1>﹣3,

  即﹣ +1在﹣3到﹣2之间,

  故选A.

  点评: 本题考查了估算无理数的大小的应用,解此题的关键是求出 的范围.

  5.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是(  )

  A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根,也可能没有

  C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

  考点: 根的判别式.

  分析: 先计算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4,由于4a2≥0,则4a2+4 >0,即△>0,然后根据根的判别式的意义进行判断即可.

  解答: 解:△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4,

  ∵4a2≥0,

  ∴4a2+4>0,即△>0,

  ∴方程有两个不相等的实数根.

  故选A.

  点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.

  6.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是(  )

  A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形

  C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

  考点: 三角形中位线定理;菱形的判定.

  分析: 根据三角形的中位线定理得到EH∥FG,EF=FG,EF= BD,要是四边形为菱形,得出EF=EH,即可得到答案.

  解答: 解:∵E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点,

  ∴EH= AC,EH∥AC,FG= AC,FG∥AC,EF= BD,

  ∴EH∥FG,EF=FG,

  ∴四边形EFGH是平行四边形,

  假设AC=BD,

  ∵EH= AC,EF= BD,

  则EF=EH,

  ∴平行四边形EFGH是菱形,

  即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形,

  故选:D.

  点评: 本题主要考查对菱形的判定,三角形的中位线定理,平行四边形的判定等知识点的理解和掌握,灵活运用性质进行推理是解此题的关键.

  7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,B C=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为(  )

  A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,

  考点: 旋转的性质;含30度角的直角三角形.

  专题: 压轴题.

  分析: 先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数,再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状,进而得出∠DCF的度数,由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线,由三角形的面积公式即可得出结论.

  解答: 解:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,

  ∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2× =2 ,AB=2BC=4,

  ∵△EDC是△ABC旋转而成,

  ∴BC=CD=BD= AB=2,

  ∵∠B=60°,

  ∴△BCD是等边三角形,

  ∴∠BCD=60°,

  ∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,

  ∴DE∥BC,

  ∵BD= AB=2,

  ∴DF是△ABC的中位线,

  ∴DF= BC= ×2=1,CF= AC= ×2 = ,

  ∴S阴影= DF×CF= × = .

  故选C.

  点评: 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式,熟知图形旋转的性质是解答此题的关键,即:

  ①对应点到旋转中心的距离相等;

  ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

  ③旋转前、后的图形全等.

  8.如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:AC=3:5,则 的值为(  )

  A. B. C. D.

  考点: 矩形的性质;翻折变换(折叠问题).

  分析: 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC,再根据矩形的对 边平行可得AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠DAC=∠BCA,从而得到∠EAC=∠DAC,设AE与CD相交于F,根据等角对等边的性质可得AF=CF,再求出DF=EF,从而得到△ACF和△EDF相似,根据相似三角形对应边成比例求出 = ,设DF=3x,FC=5x,在Rt△ADF中,利用勾股定理列式求出AD,再根据矩形的对边相等求出AB,然后代入进行计算即可得解.

  解答: 解:∵矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,

  ∴∠BAC=∠EAC,AE=AB=CD,

  ∵矩形ABCD的对边AB∥CD,

  ∴∠DCA=∠BAC,

  ∴∠EAC=∠DCA,

  设AE与CD 相交于F,则AF=CF,

  ∴AE﹣AF=CD﹣CF,

  即DF=EF,

  ∴ = ,

  又∵∠AFC=∠EFD,

  ∴△ACF∽△EDF,

  ∴ = = ,

  设DF=3x,FC=5x,则AF=5x,

  在Rt△ADF中,AD= = =4x,

  又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x,

  ∴ = = .

  故选A.

  点评: 本题考查了矩形的性质,平行线的性质,等角对等边的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,综合性较强,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.

  二、填空题(每题2分,共20分)

  9.计算: ﹣ =   ;( +1)( ﹣1)= 1 .

  考点: 二次根式的混合运算.

  专题: 计算题.

  分析: 把 化简成最简二次根式,然后把 ﹣ 进行合并即可;利用平方差公式计算( +1)( ﹣1).

  解答: 解:: ﹣ = ﹣ = ;

  ( +1)( ﹣1)=( )2﹣1=2﹣1=1.

  故答 案为 ,1.

  点评: 本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.

  10.一元二次方程﹣x2=x的解是 x1=0,x2=﹣1 .

  考点: 解一元二次方程-因式分解法.

  分析: 先移项,再分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.

  解答: 解:﹣x2=x,

  x2+x=0,

  x(x+1)=0,

  x=0,x+1=0,

  x1=0,x2=﹣1,

  故答案为:x1=0,x2=﹣1.

  点评: 本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生解一元二次方程的能力,题目比较好,难度适中.

  11.使代数式 有意义的x的取值范围是 x≥﹣2 .

  考点: 二次根式有意义的条件.

  分析: 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

  解答: 解:由题意得,2+x≥0,

  解得x≥﹣2.

  故答案为:x≥﹣2.

  点评: 本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.

  12.若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0,则k值是 0 ,另一个根是 3 .

  考点: 一元二次方程的解.

  专题: 计算题.

  分析: 先根据一元二次方程的解,把x=0代入原方程得到k的一次方程,解一次方程得到k的值,然后把k的值代入原方程,再利用因式分解法解方程得到方程另一个根.

  解答: 解:把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0,

  所以原方程变形为x2﹣3x=0,解得x1=0,x2=3,

  所以方程另一个根是3.

  故答案为0,3.

  点评: 本题考查了一元二次方程的解 :能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

  13.一组数据2,﹣1,0,x,1的极差是5,则x的值是 ﹣3或4 .

  考点: 极差.

  分析: 根据极差的公式:极差=最大值﹣最小值.x可能是最大值,也可能是最小值,分两种情况讨论.

  解答: 解:当x是最大值时,则x﹣(﹣1)=5,

  所以x=4;

  当x是最小值 时,则2﹣x=5,

  所以x=﹣3.

  故答案为﹣3或4.

  点评: 本题考查了极差的定义,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.同时注意分类的思想的运用.

  14.已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6,腰长为3,则这个等腰梯形的周长为 18 .

  考点: 梯形中位线定理;等腰梯形的性质.

  分析: 此题只需根据梯形的中位线定理求得梯形的两底和,即可进一步求得梯形的周长.

  解答: 解:∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6,

  ∴AB+CD=2×6=12.

  又∵腰AD的长为3,

  ∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC=12+3+3=18.

  故答案为:18.

  点评: 本题考查的是梯形的中位线定理及等腰梯形的性质,熟知梯形中位线定理是解答此题的关键.

  15.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是 22.5 度.

  考点: 正方形的性质.

  专题: 计算题.

  分析: 根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC,从而可求得∠BCP的度数,从而就可求得∠ACP的度数.

  解答: 解:∵ABCD是正方形,

  ∴∠DBC=∠BCA=45°,

  ∵BP=BC,

  ∴∠BCP=∠BPC= (180°﹣45°)=67.5°,

  ∴∠ACP度数是67.5°﹣45°=22.5°.

  点评: 此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质,平分每一组对角.

  16.如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB的度数为 22.5° .

  考点: 正方形的性质;菱形的性质.

  分析: 根据正方形的性质求出∠BAC=45°,再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可.

  解答: 解:∵四边形ABCD是正方形,

  ∴∠BAC=45°,

  ∵四边形AEFC是菱形,

  ∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.

  故答案为:22.5°.

  点评: 本题考查了正方形的对角线平分一组对角,菱形的对角线平分一组对角的性质,熟记性质是解题的关键.

  17.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形,再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形,

  按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为2,则第2013个菱形的面积为   .

  考点: 菱形的性质;规律型:图形的变化类;中点四边形.

  分析: 首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积,继而得到规律:第n个菱形的面积为:( )2n﹣2,则可求得答案.

  解答: 解:∵第一个矩形的面积为2,

  ∴第一个菱形的面积为1;

  ∴第二个矩形的面积为: ,

  第二个菱形的面积为:( )2,

  第三个矩形的面积为:( )3,

  第三个菱形的面积为( )4,

  依此类推,第n个菱形的面积为:( )2n﹣2,

  ∴第2013个菱形的面积为:( )2×2013﹣2=( )4024= .

  点评: 此题考查了菱形与矩形的性质.此题难度适中,注意得到规律:第n个菱形的面积为:( )2n﹣2是解此题的关键.

  18.如图,矩形纸片ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,EC=2cm,AD上有一点P,PA=6cm,过点P作PF⊥AD交BC于点F,将纸片折叠,使P与E重合,折痕交PF于Q,则线段PQ的长是   cm.

  考点: 翻折变换(折叠问题).

  专题: 压轴题;探究型.

  分析: 连接EQ,由翻折变换的性质可知△PEQ是等腰三角形,OQ是PE的垂直平分线,再由已知条件得出PD及DE的长,由勾股定理得出PE的长,设PQ=x,则QF=5﹣x,用x表示出OQ的长,根据S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值,进而得出结论.

  解答: 解:连接EQ,

  ∵将纸片折叠,使P与E重合,

  ∴△PEQ是等腰三角形,OQ是PE的垂直平分线,

  ∵矩形纸片ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,PA=6cm,CE=2cm,

  ∴PD=4cm,DE=3cm,

  ∵在Rt△DPE中PE= = =5.

  ∴OP= PE= ,

  设PQ=x,则QF=5﹣x,

  ∴OQ= =

  ∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE,即: PE•OQ+ ( QF+CE)×CF= (PF+CE)×CF,

  即 ×5× + ×(5﹣x+2)×4= ×(5+2)×4,

  解得x= cm.

  故答案为: .

  点评: 本题考查的是翻折变换,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.

  三、解答题(共20分)

  19.计算:

  (1) ﹣ + ;

  (2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.

  考点: 二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.

  专题: 计算题.

  分析: (1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;

  (2)根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3 + ,然后合并即可.

  解答: 解:(1)原式=2 ﹣ +2

  = +2 ;

  (2)原式=1+3 +

  =1+ .

  点评: 本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.

  20.解方程:

  (1)x2﹣12x﹣4=0;

  (2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

  考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

  分析: (1)先移项,再配方,开方后即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

  (2)移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.

  解答: 解:(1)x2﹣12x﹣4=0;

  x2﹣12x=4,

  配方得:x2﹣12x+62=4+62,

  (x﹣6)2=40,

  开方得:x﹣6=± ,

  x1=6+2 ,x2=6﹣2 ;

  (2)移项得:3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0,

  (x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0,

  x﹣2=0,3(x﹣2)﹣x=0,

  x1=2,x2=3.

  点评: 本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生解一元二次方程的能力,题目比较好,难度适中.

  四、解答题(共36分)

  21.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.

  考点: 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质.

  专题: 证明题.

  分析: 由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°,根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可.

  解答: 证明:∵AE⊥AD,CF⊥BC,

  ∴∠EAD=∠FCB=90°,

  ∵AD∥BC,

  ∴∠ADE=∠CBF,

  在Rt△AED和Rt△CFB中,

  ∵ ,

  ∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS),

  ∴AD=BC,

  ∵AD∥BC,

  ∴四边形ABCD是平行四边形.

  点评: 本题考查了平行四边形的判定,平行线的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是推出AD=BC,主要考查学生运用性质进行推理的能力.

  22.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,且BD=BC,点E、F分别是DC、AB的中点.求证:

  (1)EF= AB;

  (2)过A点作AG∥EF,交BE的延长线于点G,则BE=GE.

  考点: 三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

  专题: 证明题.

  分析: (1)连接BE,根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF= AB;

  (2)求出AF=EF,再根据等边对等角可得∠AEF=∠EAF,根据两直线平行,内错角相等可得∠AEF=∠EAG,从而得到∠EAF=∠EAG,然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE.

  解答: (1)证明:如图,连接BE,

  ∵BD=BC,点E是CD的中点,

  ∴BE⊥AC,

  ∵点F是AB的中点,

  ∴EF= AB;

  (2)解:∵AF=EF= AB,

  ∴∠AEF=∠EAF,

  ∵AG∥EF,

  ∴∠AEF=∠EAG,

  ∴∠EAF=∠EAG,

  又∵BE⊥AC,

  ∴BE=GE(等腰三角形三线合一).

  点评: 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.

  23.观察下列各式及其验证过程:

  =2 ,验证: = = =2 .

  =3 ,验证: = = =3 .

  (1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想 的变形结果并进行验证;

  (2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证;

  (3)用a(a为任意自然数,且a≥2)写出三次根式的类似规律,并给出验证说理过程.

  考点: 二次根式的性质与化简.

  专题: 规律型.

  分析: (1)利用已知,观察 =2 , =3 ,可得 的值;

  (2)由(1)根据二次根式的性质可以总结出一般规律;

  (3)利用已知可得出三次根式的类似规律,进而验证即可.

  解答: 解:(1)∵ =2 , =3 ,

  ∴ =4 =4 = ,

  验证: = = ,正确;

  (2)由(1)中的规律可知3=22﹣1,8=32﹣1,15=42﹣1,

  ∴ =a ,

  验证: = =a ;正确;

  (3) =a (a为任意自然数,且a≥2),

  验证: = = =a .

  点评: 此题主要考查二次根式的性质与化简,善于发现题目数字之间的规律,是解题的关键.

  24.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.

  (1)猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论;

  (2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.

  考点: 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题).

  分析: (1)连接GE,根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC,然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;

  (2)设GC=x,表示出AG、DG,然后在Rt△ADG中,利用勾股定理列式进行计算即可得解.

  解答: 解:(1)GF=GC.

  理由如下:连接GE,

  ∵E是BC的中点,

  ∴BE=EC,

  ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE,

  ∴BE=EF,

  ∴EF=EC,

  ∵在矩形ABCD中,

  ∴∠C=90°,

  ∴∠EFG=90°,

  ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,

  ,

  ∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL),

  ∴GF=GC;

  (2)设GC=x,则AG=3+x,DG=3﹣x,

  在Rt△ADG中,42+(3﹣x)2=(3+x)2,

  解得x= .

  点评: 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,翻折的性质,熟记性质,找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键.

  25.平面直角坐标系中,有一Rt△ABC,且A(﹣1,3),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.

  (1)请写出旋转中心的坐标是 (0,0) ,旋转角是 90 度;

  (2)以(1)中的旋转中心为中心,分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形.

  考点: 作图-旋转变换.

  专题: 作图题.

  分析: (1)根据网格结构,找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心,一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角;

  (2)根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置,然后顺次连接即可.

  解答: 解:(1)旋转中心的坐标是(0,0),旋转角是90度;

  (2)如图所示,△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心,顺时针旋转90°的三角形,

  △A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心,顺时针旋转180°的三角形.

  点评: 本题考查了利用旋转变换作图,旋转变换的旋转中心与旋转角的确定,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

  26.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动.

  (1)用含有t的代数式表示PE= ﹣ t+3 ;

  (2)探究:当t为何值时,四边形PQBE为梯形?

  (3)是否存在这样的点P和点Q,使△PQE为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由.

  考点: 四边形综合题.

  分析: (1)由四边形ABCD为矩形,得到∠D为直角,对边相等,可得三角形ADC为直角三角形,由AD与DC的长,利用勾股定理求出AC的长,再由PE平行于CD,利用两直线平行得到两对同位角相等,可得出三角形APE与三角形ADC相似,由相似得比例,将各自的值代入,整理后得到y与x的关系式;

  (2)若QB与PE平行,得到四边形PQBE为矩形,不合题意,故QB与PE不平行,当PQ与BE平行时,利用两直线平行得到一对内错角相等,可得出一对邻补角相等,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,可得出三角形APQ与三角形BEC相似,由相似得比例列出关于x的方程,求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值;

  (3)存在这样的点P和点Q,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形,分两种情况考虑:当Q在AE上时,由AE﹣AQ表示出QE,再根据PQ=PE,PQ=EQ,PE=QE三种情况,分别列出关于x的方程,求出方程的解即可得到满足题意x的值;当Q在EC上时,由AQ﹣AE表示出QE,此时三角形为钝角三角形,只能PE=QE列出关于x的方程,求出方程的解得到满足题意x的值,综上,得到所有满足题意的x的值.

  解答: 解:(1)∵四边形ABCD是矩形,

  ∴∠D=90°,AB=DC=3,AD=BC=4,

  ∴在Rt△ACD中,利用勾股定理得:AC= =5,

  ∵PE∥CD,

  ∴∠APE=∠ADC,∠AEP=∠ACD,

  ∴△APE∽△ADC,

  又∵PD=t,AD=4,AP=AD﹣PD=4﹣t,AC=5,DC=3,

  ∴ = = ,即 = = ,

  ∴PE=﹣ t+3.

  故答案为:﹣ t+3;

  (2)若QB∥PE,四边形PQBE是矩形,非梯形,

  故QB与PE不平行,

  当QP∥BE时,

  ∵∠PQE=∠BEQ,

  ∴∠AQP=∠CEB,

  ∵AD∥BC,

  ∴∠PAQ=∠BCE,

  ∴△PAQ∽△BCE,

  由(1)得:AE=﹣ t+5,PA=4﹣t,BC=4,AQ=t,

  ∴ = = ,即 = = ,

  整理得:5(4﹣t)=16,

  解得:t= ,

  ∴当t= 时,QP∥BE,而QB与PE不平行,此时四边形PQBE是梯形;

  (3)存在.

  分两种情况:

  当Q在线段AE上时:QE=AE﹣AQ=﹣ t+5﹣t=5﹣ t,

  (i)当QE=PE时,5﹣ t=﹣ t+3,

  解得:x= ;

  (ii)当QP=QE时,∠QPE=∠QEP,

  ∵∠APQ+∠QPE=90°,∠PAQ+∠QEP=90°,

  ∴∠APQ=∠PAQ,

  ∴AQ=QP=QE,

  ∴t=5﹣ t,

  解得,t= ;

  (iii)当QP=PE时,过P作PF⊥QE于F(如图1),

  可得:FE= QE= (5﹣ t)= ,

  ∵PE∥DC,∴∠AEP=∠ACD,

  ∴cos∠AEP=cos∠ACD= = ,

  ∵cos∠AEP= = = ,

  解得t= ;

  当点Q在线段EC上时,△PQE只能是钝角三角形,如图2所示:

  ∴PE=EQ=AQ﹣AE,AQ=t,AE=﹣ t+5,PE=﹣ t+3,

  ∴﹣ t+3=t﹣(﹣ t+5),

  解得nt= .

  综上,当t= 或t= 或t= 或t= 时,△PQE为等腰三角形.

【学年九年级数学上期中试卷】相关文章:

2016-2017五年级数学上册期中试卷06-30

2016-2017苏教版三年级数学上册期中试卷10-20

2016-2017人教版二年级数学上册期中试卷08-17

2016-2017人教版三年级数学上册期中试卷08-03

人教版小学三年级数学上册期中考试试卷分析06-18

2016-2017年苏教版四年级数学上学期期中试卷08-20

一年级数学上册期中考试试卷分析(通用10篇)11-05

人教版五年级数学下册期中试卷05-22

四年级数学下册期中试卷08-14

2016-2017学年度六年级数学上册期末试卷10-27