考研数学导数的复习重点及应用

　　考生们在准备考研数学导数的复习时，需要把重点及应用知识点了解清楚。小编为大家精心准备了考研数学导数的复习知识点和应用指南，欢迎大家前来阅读。

考研数学导数的复习重点及应用

　　考研数学导数的复习要点和应用指导

　　第一，理解并牢记导数定义。导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：

　　1)在某点的领域范围内。

　　2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

　　3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。

　　4)掌握导数定义的不同书写形式。

　　第二，导数定义相关计算。这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

　　第三，导数、可微与连续的关系。函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。这也常常应用在做题中。

　　第四，导数的计算。导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。2)求导法则。求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。3)常见考试类型的求导。通常在考研中出现四种类型：幂指函数、隐函数、参数方程和抽象函数。这四种类型的求导方法要熟悉，并且可以解决他们之间的综合题，有时候也会与变现积分求导结合，94年，96年，08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目。

　　第五，高阶导数计算。高阶导数的计算在历年考试出现过，比如03年，07年，10年，都以填空题考查的，00年是一道解答题。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶导数，二阶，三阶的方法来找出他们之间关系的。这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的，00年出的题目就是考察的这两个知识点。

　　【导数的应用】

　　导数的应用主要有以下几种：(1)切线和法线;(2)单调性;(3)极值;(4)凹凸性;(5)拐点;(6)渐近线;(7)(曲率)(只有数一和数二的考);(8)经济应用(只有数三的考)。我们一一说明每个应用在考研中有哪些注意的。

　　▶切线和法线

　　主要是依据导数的几何意义，得出曲线在一点处的切线方程和法线方程。

　　▶单调性

　　在考研中单调性主要以四种题型考查，第一：求已知函数的单调区间;第二：证明某函数在给定区间单调;第三：不等式证明;第四：方程根的讨论。这些题型都离不开导数的计算，只要按照步骤计算即可。做题过程中要仔细分析每种的处理方法，多加练习。

　　▶极值

　　需要掌握极值的定义、必要条件和充分条件即可。

　　▶凹凸性和拐点

　　考查的内容也是其定义、必要条件、充分条件和判别法。对于这块内容所涉及到的定义定理比较多，使很多同学弄糊涂了，所以希望同学们可以列表对比学习记忆。

　　▶渐近线

　　当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的'渐近线。需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

　　考研中会考察给一曲线计算渐近线条数，计算顺序为垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

　　▶条数计算

　　垂直渐近线就直接算就可以了，有几条算几条，而水平渐近线和斜渐近线要分别x趋于正无穷计算一次，和x趋于负无穷计算一次，当趋于正无穷和负无穷的水平渐近线或者斜渐近线相同则计为一条渐近线，若是不同，则计为两条渐近线。另外，在趋于正无穷或者负无穷时，有水平渐近线就不会有斜渐近线。

　　▶曲率

　　这块属于导数的物理应用，这块是数一数二的同学考的，需要掌握曲率、曲率半径、曲率圆。理解并记清楚公式。

　　▶导数的经济应用

　　导数的经济学应用是数三特考的，这个主要是考察弹性，边际利润，边际收益等。记住公式会计算即可。

　　希望同学们多加练习，弄清楚每种题型的主要解题思路，结合不同的出题方式，将知识点和题型结合起来。切记：熟能生巧，万变不离其综。

　　考研数学各科解题思路

　　高数

　　1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，把f(x)在指定点展成泰勒公式。

　　2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，先用积分中值定理对该积分式处理一下。

　　3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

　　4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

　　线性代数

　　1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

　　2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

　　3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

　　4.若要证明一组向量a1，a2，...，as线性无关，先考虑用定义再说。

　　5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

　　6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

　　7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

　　8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

　　概率与数理统计

　　1.如果要求的是若干事件中"至少"有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

　　2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

　　3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

　　4.若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化X ~ N(0，1)来处理有关问题。

　　5.求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而Y的求法类似。

　　6.欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

　　7.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。

　　8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

　　9.若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

　　考研数学不同阶段的复习侧重点分别是什么

　　考研数学根据不同的专业对数学知识及掌握程度，将数学考试分为数一，数二和数三，由于各学校对数学的要求不同，请同学们先问清楚自己所报学校的专业要求考数几，以免复习错误。那么下面我们将简单分析数一，数二和数三的主要区别。

　　根据全国本科生研究生入学考试的大纲对数学考试规定，可以看出数一的考试科目是高等数学，线性代数，概率论与数理统计;数二的考试科目是高等数学和线性代数;数三的考试科目是高等数学，线性代数和概率论与数理统计。数一与数三的考试科目是相同的，数一比数二多考了一门概率论与数理统计。数一对数学知识的掌握程度比数二，数三要高一些，也就是数一的考试题目比数二，数三要难一些。所以就对各位考数一的同学提出了更高的要求，在有限的时间内如何高效的复习数一就显得尤为重要。下面我们重点说一下，如何有效的复习数学。

　　将考研数学的复习分为三个阶段。首先，基础阶段，在六月份之前完成对基础知识的梳理，主要是看课本。如何有效地看课本，并不是课本上的内容全部都看!要根据数学的考试大纲内容来看书。考纲中考什么，就看什么!这样既节约时间，又提高效率。在这阶段不用做太多的题，主要是掌握基础的知识点。

　　其次，强化阶段，要求大量的做练习题。根据考试内容，选择合适的考研辅导书，有针对性的做题，提高自己对知识的熟练程度及做题的方法与技巧。在开始做题时，准备好一个本，用来记录自己做错的题目，以及做错的原因，就是错题集。在做题过程中，希望同学们尽量避免一遇到不会的题目就看答案，最好自己先想一下，这样在看答案的时候就知道自己哪里没有想到，有利于发现自己哪里存在不足，及时查缺补漏，提高复习的效率。由于同学们会做很多的题，不仅要将错题整理出来，也要将重点的题目整理出来。有利于我们在后面的复习略去没有意义的题目。提高复习的效率。

　　最后，冲刺阶段，这个阶段要把在强化阶段整理的重点题型，或者是自己感觉做错的题型拿出来再做一遍。因为考研数学复习周期比较长，同学们还有学习其他的科目，有些同学复习到最后可能会把有些数一考查的知识点给忘了，要将考试知识点尤其是基础的部分认真复习一遍。并且要认真的做真题，从做真题中发现一些规律，以及经常考的知识点。最后到考前适当的做一些模拟题，通过练习模拟题保持一下手感，以最好的状态走上考场就可以了。

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