初二数学下册单元试题及答案解析
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一.细心选一选：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中，x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
4.如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2，则k的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5.如图所示，ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
7.一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
9.如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1的正方形有9个，第(2)个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
12.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
二、耐心填一填(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= .
14.若分式的值为零，则x= .
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为 .
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是 .
17.由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在 分钟内，师生不能呆在教室.
18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为 .
三.解答题(本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
20.如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
21.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)，且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2，1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?
22.童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，
(1)降价前，童装店每天的利润是多少元?
(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元?
四、解答题(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
23.先化简，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
24.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标.
五.解答题(本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
25.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积;
(2)如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF;
(3)如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
26.如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点，且点A的横坐标为1.
(1)求k的值;
(2)如图1，双曲线y=(x>0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标;
(3)如图2所示，若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一.细心选一选：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中，x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
考点： 分式有意义的条件.
分析： 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.
解答： 解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1.
故选A.
点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义分母为零;
(2)分式有意义分母不为零;
(3)分式值为零分子为零且分母不为零.
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点： 轴对称图形.
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误;
B、是轴对称图形，故本选项正确;
C、不是轴对称图形，故本选项错误;
D、不是轴对称图形，故本选项错误.
故选;B.
点评： 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考点： 根与系数的关系.
分析： 根据根与系数的关系得到α+β=﹣=2，即可得出答案.
解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴α+β=﹣=2;
故选A.
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=.
4.如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2，则k的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义.
分析： 设点A的坐标为(x，y)，用x、y表示OB、AB的长，根据矩形ABOC的面积为2，列出算式求出k的值.
解答： 解：设点A的坐标为(x，y)，
则OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面积为2，
∴k=xy=2，
故选：B.
点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
5.如图所示，ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
考点： 三角形中位线定理;平行四边形的性质.
分析： 由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解.
解答： 解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分.可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线.
根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).
故选B.
点评： 主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.
6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
考点： 解一元二次方程-配方法.
专题： 配方法.
分析： 配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解答： 解：由原方程移项，得
x2+6x=5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴(x+3)2=14.
故选A.
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
7.一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
考点： 多边形内角与外角.
分析： 利用多边形的内角和=180(n﹣2)可得.
解答： 解：108=180(n﹣2)÷n
解得n=5.
故选A.
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理.
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
考点： 解分式方程.
专题： 计算题.
分析： 观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解.
解答： 解：方程两边同乘以(x+1)(x﹣1)，
得3(x+1)=2(x﹣1)，
解得x=﹣5.
经检验：x=﹣5是原方程的解.
故选A.
点评： (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
9.如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
考点： 菱形的性质.
专题： 计算题.
分析： 先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解.
解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故选B.
点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
考点： 根的判别式;一元二次方程的定义.
专题： 计算题.
分析： 根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△>0且二次项系数不为0即可.
解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，
即(﹣6)2﹣4×9k>0，
解得，k<1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k<1且k≠0.
故选A.
点评： 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：(1)△>0方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0方程有两个相等的实数根;(3)△<0方程没有实数根.
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1的正方形有9个，第(2)个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
考点： 规律型：图形的变化类.
分析： 由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×(n﹣1)=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可.
解答： 解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，
第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，
第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，
…
第n个图形边长为1的小正方形有9+5×(n﹣1)=5n+4个，
所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个.
故选：C.
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题.
12.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义.
分析： 设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是(x，y)，根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k.
解答： 解：设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是(x，y)，
∵E是OB的中点，
∴B点的坐标是(2x，2y)，
则D点的坐标是(，2y)，
∵△OBD的面积为10，
∴×(2x﹣)×2y=10，
解得，k=，
故选：D.
点评： 本题考查反比例系数k的'几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
二、耐心填一填(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .
考点： 提公因式法与公式法的综合运用.
专题： 压轴题.
分析： 先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式.
解答： 解：2m2﹣2，
=2(m2﹣1)，
=2(m+1)(m﹣1).
故答案为：2(m+1)(m﹣1).
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解.
14.若分式的值为零，则x= ﹣3 .
考点： 分式的值为零的条件.
专题： 计算题.
分析： 分式的值为零，分子等于0，分母不为0.
解答： 解：根据题意，得
|x|﹣3=0且x﹣3≠0，
解得，x=﹣3.
故答案是：﹣3.
点评： 本题考查了分式的值为0的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为 8 .
考点： 矩形的性质;含30度角的直角三角形.
分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可.
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴AC=2OA=8;
故答案为：8.
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是 ﹣3 .
考点： 一元二次方程的解.
分析： 将x=2代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求出m值.
解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，
解得m=﹣3.
故答案为﹣3.
点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
17.由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在 75 分钟内，师生不能呆在教室.
考点： 反比例函数的应用.
分析： 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式;进一步求解可得答案.
解答： 解：设反比例函数解析式为y=(k≠0)，
将(25，6)代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=(x≥15)，
当y=2时，=2，
解得x=75.
答：从消毒开始，师生至少在75分钟内不能进入教室.
点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.
18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为 2﹣2 .
考点： 旋转的性质;正方形的性质.
分析： 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α，再根据正方形的性质得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四边形AEBF=S△ABD=4，则S△CDM=2，利用三角形面积公式可计算出DM=2，延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，接着根据勾股定理计算出CM=2，再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，则BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
解答： 解：∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45°)，得到∠B′AD′，
∴∠EAB=∠FAD=α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBA=∠FDA，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴S△ABE=S△ADF，
∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，
∵S四边形AEBF=S△CDM，
∴S△CDM==2，
∴DM2=2，解得DM=2，
延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，
在Rt△CDM中，CM==2，
在△BCM′和△DCM中
，
∴△BCM≌△DCM(SAS)，
∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，
而NC平分∠BCM，
∴∠NCM=∠BCN，
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，
∴M′N=M′C=2，
∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
故答案为：2﹣2.
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.
三.解答题(本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
考点： 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析： (1)移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可.
解答： 解：(1)x2﹣6x﹣2=0，
x2﹣6x=2，
x2﹣6x+9=2+9，
(x﹣3)2=11，
x﹣3=，
x1=3+，x2=3﹣;