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初二数学下册单元试题及答案解析
导读：数学的学习要求考生一定要认真仔细。下面是应届毕业生小编为大家搜集整理出来的有关于初二数学下册单元试题及答案解析，想了解更多相关资讯请继续关注考试网!
一.细心选一选：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中，x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
4.如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2，则k的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5.如图所示，ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
7.一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
9.如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1的正方形有9个，第(2)个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
12.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
二、耐心填一填(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= .
14.若分式的值为零，则x= .
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为 .
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是 .
17.由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在 分钟内，师生不能呆在教室.
18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为 .
三.解答题(本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
20.如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
21.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)，且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2，1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?
22.童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，
(1)降价前，童装店每天的利润是多少元?
(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元?
四、解答题(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
23.先化简，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
24.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标.
五.解答题(本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
25.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积;
(2)如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF;
(3)如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
26.如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点，且点A的横坐标为1.
(1)求k的值;
(2)如图1，双曲线y=(x>0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标;
(3)如图2所示，若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一.细心选一选：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中，x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
考点： 分式有意义的条件.
分析： 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.
解答： 解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1.
故选A.
点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义分母为零;
(2)分式有意义分母不为零;
(3)分式值为零分子为零且分母不为零.
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点： 轴对称图形.
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误;
B、是轴对称图形，故本选项正确;
C、不是轴对称图形，故本选项错误;
D、不是轴对称图形，故本选项错误.
故选;B.
点评： 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考点： 根与系数的关系.
分析： 根据根与系数的关系得到α+β=﹣=2，即可得出答案.
解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴α+β=﹣=2;
故选A.
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=.
4.如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2，则k的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义.
分析： 设点A的坐标为(x，y)，用x、y表示OB、AB的长，根据矩形ABOC的面积为2，列出算式求出k的值.
解答： 解：设点A的坐标为(x，y)，
则OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面积为2，
∴k=xy=2，
故选：B.
点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
5.如图所示，ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
考点： 三角形中位线定理;平行四边形的性质.
分析： 由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解.
解答： 解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分.可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线.
根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).
故选B.
点评： 主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.
6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
考点： 解一元二次方程-配方法.
专题： 配方法.
分析： 配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解答： 解：由原方程移项，得
x2+6x=5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴(x+3)2=14.
故选A.
点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
7.一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是( )
A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
考点： 多边形内角与外角.
分析： 利用多边形的内角和=180(n﹣2)可得.
解答： 解：108=180(n﹣2)÷n
解得n=5.
故选A.
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理.
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
考点： 解分式方程.
专题： 计算题.
分析： 观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解.
解答： 解：方程两边同乘以(x+1)(x﹣1)，
得3(x+1)=2(x﹣1)，
解得x=﹣5.
经检验：x=﹣5是原方程的解.
故选A.
点评： (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
9.如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
考点： 菱形的性质.
专题： 计算题.
分析： 先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解.
解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故选B.
点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
考点： 根的判别式;一元二次方程的定义.
专题： 计算题.
分析： 根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△>0且二次项系数不为0即可.
解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，
即(﹣6)2﹣4×9k>0，
解得，k<1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k<1且k≠0.
故选A.
点评： 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：(1)△>0方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0方程有两个相等的实数根;(3)△<0方程没有实数根.
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1的正方形有9个，第(2)个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
考点： 规律型：图形的变化类.
分析： 由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×(n﹣1)=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可.
解答： 解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，
第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，
第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，
…
第n个图形边长为1的小正方形有9+5×(n﹣1)=5n+4个，
所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个.
故选：C.
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题.
12.已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义.
分析： 设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是(x，y)，根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k.
解答： 解：设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是(x，y)，
∵E是OB的中点，
∴B点的坐标是(2x，2y)，
则D点的坐标是(，2y)，
∵△OBD的面积为10，
∴×(2x﹣)×2y=10，
解得，k=，
故选：D.
点评： 本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
二、耐心填一填(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .
考点： 提公因式法与公式法的综合运用.
专题： 压轴题.
分析： 先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式.
解答： 解：2m2﹣2，
=2(m2﹣1)，
=2(m+1)(m﹣1).
故答案为：2(m+1)(m﹣1).
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解.
14.若分式的值为零，则x= ﹣3 .
考点： 分式的值为零的条件.
专题： 计算题.
分析： 分式的值为零，分子等于0，分母不为0.
解答： 解：根据题意，得
|x|﹣3=0且x﹣3≠0，
解得，x=﹣3.
故答案是：﹣3.
点评： 本题考查了分式的值为0的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为 8 .
考点： 矩形的性质;含30度角的直角三角形.
分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可.
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴AC=2OA=8;
故答案为：8.
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是 ﹣3 .
考点： 一元二次方程的解.
分析： 将x=2代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求出m值.
解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，
解得m=﹣3.
故答案为﹣3.
点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
17.由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在 75 分钟内，师生不能呆在教室.
考点： 反比例函数的应用.
分析： 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式;进一步求解可得答案.
解答： 解：设反比例函数解析式为y=(k≠0)，
将(25，6)代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=(x≥15)，
当y=2时，=2，
解得x=75.
答：从消毒开始，师生至少在75分钟内不能进入教室.
点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.
18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为 2﹣2 .
考点： 旋转的性质;正方形的性质.
分析： 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α，再根据正方形的性质得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四边形AEBF=S△ABD=4，则S△CDM=2，利用三角形面积公式可计算出DM=2，延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，接着根据勾股定理计算出CM=2，再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，则BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
解答： 解：∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45°)，得到∠B′AD′，
∴∠EAB=∠FAD=α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBA=∠FDA，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴S△ABE=S△ADF，
∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，
∵S四边形AEBF=S△CDM，
∴S△CDM==2，
∴DM2=2，解得DM=2，
延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，
在Rt△CDM中，CM==2，
在△BCM′和△DCM中
，
∴△BCM≌△DCM(SAS)，
∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，
而NC平分∠BCM，
∴∠NCM=∠BCN，
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，
∴M′N=M′C=2，
∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
故答案为：2﹣2.
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.
三.解答题(本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
考点： 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析： (1)移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可.
解答： 解：(1)x2﹣6x﹣2=0，
x2﹣6x=2，
x2﹣6x+9=2+9，
(x﹣3)2=11，
x﹣3=，
x1=3+，x2=3﹣;
(2)方程两边都乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1+x﹣2，
解这个方程得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
所以原方程无解.
点评： 本题考查了解一元二次方程，解分式方程的应用，解(1)小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程.
20.如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
考点： 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专题： 证明题.
分析： (1)根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可;
(2)根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可.
解答： 证明：(1)在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
21.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)，且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2，1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题.
专题： 数形结合;待定系数法.
分析： (1)根据待定系数法，可得函数解析式;
(2)根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案.
解答： 解：(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣，0)和A(﹣2，1)，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，
反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(﹣2，1)，
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣;
(2)，
解得，或，
∴B(，﹣4)
由图象可知，当﹣2时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键.
22.童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，
(1)降价前，童装店每天的利润是多少元?
(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元?
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 销售问题.
分析： (1)用降价前每件利润×销售量列式计算即可;
(2)设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可.
解答： 解：(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：
(100﹣60)×20=800(元);
(2)设每件童装降价x元，根据题意，得
(100﹣60﹣x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10，x2=20.
∵要使顾客得到更多的实惠，
∴取x=20.
答：童装店应该降价20元.
点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.
四、解答题(本大题共2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
23.先化简，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
考点： 分式的化简求值;一元二次方程的解.
专题： 计算题.
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值.
解答： 解：原式=[﹣]÷==，
由a2﹣4a+2=0，得a2﹣4a=﹣2，
则原式=.
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
24.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标.
考点： 一次函数综合题.
分析： (1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0，y).由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0，y)，根据|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|，即可得出答案;
(2)设点C的坐标为(x0，x0+3).根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标;
解答： 解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0，y).
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0，2)或(0，﹣2);
②设点B的坐标为(0，y).
∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=;
(2)如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，
则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.
即AC=AD，
∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，
∴设点C的坐标为(x0，x0+3)，
∴﹣x0=x0+2，
此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，
此时C(﹣，).
点评： 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.
五.解答题(本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
25.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积;
(2)如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF;
(3)如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
考点： 四边形综合题.
分析： (1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积;
(2)作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF;
(3)作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF.
解答： 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，
∴BE⊥AC，AE=AB=1，
∴BE=，
∴△ABC的面积=×AC×BE=;
(2)如图2，作EG∥BC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGE是等边三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF;
(3)成立，
如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AHE是等边三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF.
点评： 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键.
26.如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点，且点A的横坐标为1.
(1)求k的值;
(2)如图1，双曲线y=(x>0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标;
(3)如图2所示，若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
考点： 反比例函数综合题.
分析： (1)点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，代入y=2×1+1=3，求得点A即可得到结果;
(2)如图1，设点M(m，)，过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，解方程即可得到结果;
(3)首先求得反比例函数的解析式，然后设P(m，m)，分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标.
解答： 解：(1)∵点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，
∴y=2×1+1=3，
∴A(1，3)，
∵点A是反比例函数y=(x>0)图象上的点，
∴k=3;
(2)如图1，设点M(m，)，过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，
根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，
解得：m=3(负值舍去)，
∴M(3，1);
(3)∵反比例函数y=(x>0)图象经过点A(1，3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵点P在直线y=x上，
∴设P(m，m)
，若PQ为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为(m+2，m﹣2)如图2，
若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为(m﹣2，m+2)如图3，
把Q(m+2，m﹣2)代入反比例函数的解析式得：m=±，
∵m>0，
∴m=，
∴Q1(+2，﹣2)，
同理可得另一点Q2(﹣2，+2);
②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，
∵A、B关于y=x对称，
∴OP⊥AB
此时点Q在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=的交点，
由
解得，(舍去)
∴Q3(，)
综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1(+2，﹣2)，Q2(﹣2，+2)，Q3(，).
点评： 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，准确的画出图形是解题的关键.