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2016年南宁市中考数学试题及答案
中考，就是初中升高中的考试，是建立在九年义务教育基础上的选拔。下面百分网小编为大带来一份2016年南宁市中考数学试题，文末有答案，希望能对大家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业生网!
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1.﹣2的相反数是( )
A.﹣2 B.0 C.2 D.4
2.把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
3.据《南国早报》报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
4.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( )
A. B.3 C.﹣ D.﹣3
5.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是( )
A.80分 B.82分 C.84分 D.86分
6.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
7.下列运算正确的是( )
A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
9.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为( )
A.140° B.70° C.60° D.40°
10.超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( )
A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90
11.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于( )
A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13.若二次根式 有意义，则x的取值范围是 .
14.如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A= .
15.分解因式：a2﹣9= .
16.如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(2016•南宁)如图所示，反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为 .
18.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 层.
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.计算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .
20.解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.
21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.
22.在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(2016•南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.
24.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 .
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2)，若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?
25.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.
(1)如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系;
(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE=CF;
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.
26.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y=x﹣2交于B，C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证：△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1.﹣2的相反数是( )
A.﹣2 B.0 C.2 D.4
【考点】相反数.
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.
【解答】解：﹣2的相反数是2.
故选C.
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.
2.把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
【考点】平行投影.
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解.
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形.
故选A.
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定.
3.据《南国早报》报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将332000用科学记数法表示为：3.32×105.
故选：B.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( )
A. B.3 C.﹣ D.﹣3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出m的值.
【解答】解：把点(1，m)代入y=3x，可得：m=3，
故选B
【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数m，比较简单.
5.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是( )
A.80分 B.82分 C.84分 D.86分
【考点】加权平均数.
【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案.
【解答】解：
由加权平均数的公式可知 = = =86，
故选D.
【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 = 是解题的关键.
6.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度.
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
故选：C.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
7.下列运算正确的是( )
A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案.
【解答】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故本选项错误;
B、ax和ay不是同类项，不能合并，故本选项错误;
C、m2•m4=m6，计算正确，故本选项正确;
D、(y3)2=y6≠y5，故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则.
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的概念.
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案.
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确.
故选D.
【点评】主要考查了函数的定义.注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
9.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为( )
A.140° B.70° C.60° D.40°
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论.
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，
∴∠P= ∠DOE=70°.
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
10.超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( )
A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可.
【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10=90，
故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价.
11.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于( )
A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9
【考点】正方形的性质.
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案.
【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴S1= S正方形ABCD，
∴S1= x2，
∵ = ，
∴ = ，
∴S2= S正方形ABCD，
∴S2= x2，
∴S1：S2= x2： x2=4：9;
故选D.
【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2>0，a>0，设方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论.
【解答】解：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2>0，a>0，
∴﹣ >0.
设方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根为a，b，则a+b=﹣ =﹣ + ，
∵a>0，
∴ >0，
∴a+b>0.
故选C.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13.若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x≥1 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1.
故答案为：x≥1.
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可.
14.如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A= 50° .
【考点】平行线的性质.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A.
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=50°，
∴∠A=50°，
故答案为50°.
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等.
15.分解因式：a2﹣9= (a+3)(a﹣3) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.
【解答】解：a2﹣9=(a+3)(a﹣3).
故答案为：(a+3)(a﹣3).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.
16.如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(2016•南宁)如图所示，反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为 2 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】过D作DE⊥OA于E，设D(m， )，于是得到OA=2m，OC= ，根据矩形的面积列方程即可得到结论.
【解答】解：过D作DE⊥OA于E，
设D(m， )，
∴OE=m.DE= ，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
∴OA=2m，OC= ，
∵矩形OABC的面积为8，
∴OA•OC=2m• =8，
∴k=2，
故答案为：2.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键.
18.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 44 层.
【考点】规律型：数字的变化类.
【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数;发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442<2016<452，则2016在第44层.
【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，
第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，
第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，
∵442=1936，452=2025，
又∵1936<2016<2025，
∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，
故答案为：44
【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示;②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可;本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论.
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.计算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .
【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案.
【解答】解：原式=2+4× ﹣8+2
=4 ﹣6.
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键.
20.解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解： ，
解①得x≤1，
解②得x>﹣3，
，
不等式组的解集是：﹣3
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.
【考点】作图-位似变换;作图-平移变换.
【分析】(1)将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1;
(2)连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题.
【解答】解：(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，
∵A(2，2)，C(4，﹣4)，B(4，0)，
∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D( ，0)，
∵∠CBD=90°，
∴CD= = ，
∴sin∠DCB= = = .
∵∠A2C2B2=∠ACB，
∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= .
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型.
22.在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(2016•南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.
【考点】切线的判定.
【专题】计算题;与圆有关的位置关系.
【分析】(1)连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证;
(2)由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可.
【解答】(1)证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线;
(2)解：过O作OG⊥BC，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∴BC=BG+GC=6+10=16，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得：OA= ，
∴AB= +10= ，
连接EF，
∵BF为圆的直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴ = ，即 = ，
解得：BE=12.
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
24.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 .
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2)，若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?
【考点】一次函数的应用;分式方程的应用.
【分析】(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论;
(2)根据题意得( + )×40= ，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到 = ，即可得到结论.
【解答】解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得 ×(30+15)+ ×15= ，
解得：x=450，
经检验x=450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天;
(2)根据题意得( + )×40= ，
∴a=60m+60，
∵60>0，
∴a随m的增大增大，
∴当m=1时， 最大，
∴ = ，
∴ ÷ =7.5倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用.分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用.
25.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.
(1)如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系;
(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE=CF;
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.
(2)欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可.
(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题.
【解答】(1)解：结论AE=EF=AF.
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF(菱形的高相等)，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF.
(2)证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF.
(3)解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2 ，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2 ，
∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2，
∴FH=CF•cos30°=(2 ﹣2)• =3﹣ .
∴点F到BC的距离为3﹣ .
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.
26.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y=x﹣2交于B，C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证：△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标;
(2)分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论;
(3)设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得N点的坐标.
【解答】解：
(1)∵顶点坐标为(1，1)，
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a(0﹣1)2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 或 ，
∴B(2，0)，C(﹣1，﹣3);
(2)如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，﹣x2+2x)，
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB= ，BC=3 ，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有 = 或 = ，
①当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得x= 或x= ，
此时N点坐标为( ，0)或( ，0);
②当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为(﹣1，0)或(5，0)，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为( ，0)或( ，0)或(﹣1，0)或(5，0).
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用，在(3)中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.
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