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2016年苏州市中考数学试题及答案解析
学习数学就是学习如何运算做题，想要提高数学能力，不可避免地要与试题挂钩。下面百分网小编为大家带来一份2016年苏州市中考的数学试题及答案解析，有需要的同学可以看一看，更多内容欢迎关注应届毕业生网!
一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为( )
A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5
3.下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
4.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
6.已知点A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函数y= (k<0)的图象上，则y1、y2的大小关系为( )
A.y1>y2B.y1
7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量(吨) 15 20 25 30 35
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是( )
A.25，27 B.25，25 C.30，27 D.30，25
8.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A.2 m B.2 m C.(2 ﹣2)m D.(2 ﹣2)m
9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A.(3，1) B.(3， ) C.(3， ) D.(3，2)
10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为( )
A.2 B. C. D.3
二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)
11.分解因式：x2﹣1= .
12.当x= 时，分式 的值为0.
13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s)，甲的方差为0.024(s2)，乙的方差为0.008(s2)，则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员.(填“甲”或“乙”)
14.某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度.
15.不等式组 的最大整数解是 .
16.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为 .
17.如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为 .
18.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(8，0)、(0，2 )，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 .
三、解答题(共10小题，满分76分)
19.计算：( )2+|﹣3|﹣(π+ )0.
20.解不等式2x﹣1> ，并把它的解集在数轴上表示出来.
21.先化简，再求值： ÷(1﹣ )，其中x= .
22.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆?
23.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.
(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ;
(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.
24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
25.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n﹣4，1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式.
26.如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
(1)证明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是 的中点，求EG•ED的值.
27.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t(单位：s)(0
(1)如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ;
(2)如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值;
(3)请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.
28.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
【考点】倒数.
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可.
【解答】解：∵ × =1，
∴ 的倒数是 .
故选A.
2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为( )
A.0.7×10﹣3B.7×10﹣3C.7×10﹣4D.7×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C.
3.下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
【考点】整式的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.
【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误;
B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误;
C、a2•a4=a6，故此选项错误;
D、(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b，故此选项正确;
故选：D.
4.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【考点】频数与频率.
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率.
【解答】解：根据题意得：40﹣(12+10+6+8)=40﹣36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故选A.
5.如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为( )
A.58° B.42° C.32° D.28°
【考点】平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可.
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB=∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，
故选C.
6.已知点A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函数y= (k<0)的图象上，则y1、y2的大小关系为( )
A.y1>y2B.y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案.
【解答】解：∵点A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函数y= (k<0)的图象上，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y1
故选：B.
7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量(吨) 15 20 25 30 35
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是( )
A.25，27 B.25，25 C.30，27 D.30，25
【考点】众数;中位数.
【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题.
【解答】解：因为30出现了9次，
所以30是这组数据的众数，
将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25，
故选D.
8.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A.2 m B.2 m C.(2 ﹣2)m D.(2 ﹣2)m
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD= ，
∴AD=4sin60°=2 (m)，
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，
∴AC= =2 (m).
故选B.
9.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( )
A.(3，1) B.(3， ) C.(3， ) D.(3，2)
【考点】矩形的性质;坐标与图形性质;轴对称-最短路线问题.
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.
【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小.
∵D( ，0)，A(3，0)，
∴H( ，0)，
∴直线CH解析式为y=﹣ x+4，
∴x=3时，y= ，
∴点E坐标(3， )
故选：B.
10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为( )
A.2 B. C. D.3
【考点】三角形的面积.
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果.
【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2 ，
∴AC= = =4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC= •AB•AC= ×2 ×2 =4，
∴S△ADC=2，
∵ =2，
∴GH= BG= ，
∴BH= ，
又∵EF= AC=2，
∴S△BEF= •EF•BH= ×2× = ，
故选C.
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二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)
11.分解因式：x2﹣1= (x+1)(x﹣1) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解：x2﹣1=(x+1)(x﹣1).
故答案为：(x+1)(x﹣1).
12.当x= 2 时，分式 的值为0.
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案.
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2.
故答案为：2.
13.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s)，甲的方差为0.024(s2)，乙的方差为0.008(s2)，则这10次测试成绩比较稳定的是 乙 运动员.(填“甲”或“乙”)
【考点】方差.
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.
【解答】解：因为S甲2=0.024>S乙2=0.008，方差小的为乙，
所以本题中成绩比较稳定的是乙.
故答案为乙.
14.某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度.
【考点】条形统计图;扇形统计图.
【分析】根据文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案.
【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，
则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300(人)，
则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°× =72°;
故答案为：72.
15.不等式组 的最大整数解是 3 .
【考点】一元一次不等式组的整数解.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可.
【解答】解：解不等式x+2>1，得：x>﹣1，
解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，
则不等式组的解集为：﹣1
则不等式组的最大整数解为3，
故答案为：3.
16.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为 .
【考点】切线的性质;圆周角定理;扇形面积的计算.
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积.
【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3× = ，
∴阴影部分的'面积= ×3× ﹣ = ，
故答案为： .
17.如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为 2 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2 ，然后再次利用勾股定理求得答案即可.
【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是边长为4的等边三角形，
∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，
∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G= = =2 ，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′= = =2 .
故答案为：2 .
18.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(8，0)、(0，2 )，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 (1， ) .
【考点】坐标与图形性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.
【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标.
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为(8，0)，(0，2 )
∴BO= ，AO=8
由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4
设DP=a，则CP=4﹣a
当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴ ，即
解得a1=1，a2=3(舍去)
∴DP=1
又∵PE=
∴P(1， )
故答案为：(1， )
三、解答题(共10小题，满分76分)
19.计算：( )2+|﹣3|﹣(π+ )0.
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案.
【解答】解：原式=5+3﹣1
=7.
20.解不等式2x﹣1> ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来.
【解答】解：去分母，得：4x﹣2>3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x>2﹣1，
合并同类项，得：x>1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
21.先化简，再求值： ÷(1﹣ )，其中x= .
【考点】分式的化简求值.
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
当x= 时，原式= = .
22.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解.
【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得
解得
答：中型车有20辆，小型车有30辆.
23.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.
(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ;
(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.
【考点】列表法与树状图法;坐标与图形性质;概率公式.
【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率= ;
故答案为 ;
(2)画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果数为6，
所以点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率= = .
24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
【考点】菱形的性质;平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可;
(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形;
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
25.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n﹣4，1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】将点B(2，n)、P(3n﹣4，1)代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′.接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式.
【解答】解：∵点B(2，n)、P(3n﹣4，1)在反比例函数y= (x>0)的图象上，
∴ .
解得：m=8，n=4.
∴反比例函数的表达式为y= .
∵m=8，n=4，
∴点B(2，4)，(8，1).
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′.
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′.
∴DP′=DP=6.
∴点P′(﹣4，1).
将点P′(﹣4，1)，B(2，4)代入直线的解析式得： ，
解得： .
∴一次函数的表达式为y= x+3.
26.如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
(1)证明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是 的中点，求EG•ED的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C;
(2)利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案;
(3)根据cosB= ，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可.
【解答】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C;
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;
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(3)解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ = ，
即EG•ED=AE2=18.
27.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t(单位：s)(0
(1)如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ;
(2)如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值;
(3)请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题.
(2)由△QTM∽△BCD，得 = 列出方程即可解决.
(3)①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题.
②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E.由△OHE∽△BCD，得 = ，列出方程即可解决问题.利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切.
【解答】(1)解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6.AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ = = ，
∴ = = ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=6﹣5t，
∴t= ，
故答案为 .
(2)解：如图2中，作MT⊥BC于T.
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由(1)可知TQ= (8﹣5t)，QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= (s)，
∴t= s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形.
(3)①证明：如图2中，由此QM交CD于E，
∵EQ∥BD，
∴ = ，
∴EC= (8﹣5t)，ED=DC﹣EC=6﹣ (8﹣5t)= t，
∵DO=3t，
∴DE﹣DO= t﹣3t= t>0，
∴点O在直线QM左侧.
②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E.
∵EC= (8﹣5t)，DO=3t，
∴OE=6﹣3t﹣ (8﹣5t)= t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴ = ，
∴ = ，
∴t= .
∴t= s时，⊙O与直线QM相切.
连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，
在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，
∴MH=0.8( +1)，
由 = 得到HE= ，
由 = 得到EQ= ，
∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，
∴0.8( +1)≠ ，矛盾，
∴假设不成立.
∴直线MQ与⊙O不相切.
28.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的'坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值;
(2)过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为 DM•OB，设M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0
(3)①由(2)可知m= ，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值.
【解答】解：(1)令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B(0，3)，
把B(0，3)代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3;
(2)令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0
过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，
由题意知：M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，
∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，
∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，
∴x= ，
∴D的坐标为( ，﹣m2+2m+3)，
∴DM=m﹣ = ，
∴S= DM•BE+ DM•OE
= DM(BE+OE)
= DM•OB
= × ×3
=
= (m﹣ )2+
∵0
∴当m= 时，
S有最大值，最大值为 ;
(3)①由(2)可知：M′的坐标为( ， );
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧 上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A(1，0)，B(0，3)，M′( ， )，
∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴ ﹣( ﹣x)2= ﹣x2，
∴x= ，
cos∠M′BG= = ，
∵l1∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
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