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2015届高三数学模拟试题
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题:(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合 ≤ ≤ , ≤ ≤ ，则( )
2. 计算: ( )
A. B.- C. 2 D. -2
3. 已知 是奇函数，当 时， ，则 ( )
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 ,则 的充要条件是( )
A. B. C. D.
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )
6. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 此函数的图象关于直线 对称 B. 此函数的最大值为1
C. 此函数在区间 上是增函数 D. 此函数的最小正周期为
7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，
输出的 值为31，则 等于( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. 已知 、 满足约束条件 ，
若 ，则 的取值范围为( )
A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题(本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分)。
(一)必做题:第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知等比数列 的公比 为正数，且 ，则 = .
10. 计算 .
11. 已知双曲线 的一个焦点是( )，则其渐近线方程为 .
12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .
13. 已知
依此类推，第 个等式为 .
(二)选做题:第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。
14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为
15.(几何证明选讲选做题)如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB
延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，
若∠CPA=30°，PC=_____________
三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
如图，角 为钝角，且 ，点 、 分别是在角 的
两边上不同于点 的动点.
(1)若 =5， = ，求 的长;
(2)设 的值.
17.(本小题满分12分)
某连锁超市有 、 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计: 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天; 分店的统计结果如下表:
销 售量(单位:件) 200 300 400
天 数 10 15 5
(1)根据上面统计结果，求出 分店销售量为200件、300件、400件的频率;
(2)已知每件该商品的销售利润为1元， 表示超市 、 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作 为概率，且 、 两分店的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
， .
(1)若 为 中点，求证: ∥平面 ;
(2)求平面 与 所成锐二面角 的大小.
19.(本小题满分14分)
已知数列 中， ，且当 时， ， .
记 的阶乘 !
(1)求数列 的通项公式;(2)求证:数列 为等差数列;
(3)若 ，求 的前n项和.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆 : ( )的离心率为 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点M，求点M的轨迹 的方程;
(3)设O为坐标原点，取 上不同于O的点S，以OS为直径作圆与 相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标.
21.(本小题满分14分)
已知函数 ，函数 是函数 的导函数.
(1)若 ，求 的单调减区间;
(2)若对任意 ， 且 ，都有 ，求实数 的取值范围;
(3)在第(2)问求出的实数 的范围内，若存在一个与 有关的负数 ，使得对任意 时 恒成立，求 的最小值及相应的 值.
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