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2017年高二下学期数学(文)期中试题
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第Ⅰ卷 ( 共60分)
一、选择题(本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A，B，C ，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.)
1.抛物线 的焦点坐 标是( )
A. B. C. D.
2.命题“若 ，则 都为零”的否命题是( )
A.若 ，则 都不为零 B.若 ，则 不都为零
C.若 都不为零，则 D.若 不都为零，则
3.曲线 在 处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知 的图象如右所示，则 的一个可能图象是( )
A. B. C. D.
5.椭圆 的一个顶点在抛物线 的准线上，则椭圆的离心率( )
A. B. C .4 D.
6.函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.一动圆 与圆 外切，而与圆 内切，那么动圆的圆心 的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.椭圆或双曲线一支 D.抛物线
8. 已知函数 在R上可导，且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
9.曲线 与曲线 的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
10.设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
11.已知命题 ：函数 在R为增函数， :函数 在 为减函数.则命题 ; ; ; 中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆 和双曲线 的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N;A、B分别在左右两部分实线上运动，则 周长的最小值为: ( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上)
13.双曲线 的渐近线方程为___________.
14.若函数 在 处有极小值，则实数 等于_________.
15.已知命题 :“ ”, 命题 ：“ ”,
若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为 .
16. 综合应用抛物线和双曲 线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种 望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示，其中，一个反射镜 弧所在的曲 线为抛物线，另一个反射镜 弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知 、 是双曲线的两个焦点，其中 同时又是抛物线的焦点， 也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下， 弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸(单位：cm)，写出反射镜 弧所在的抛物线方程为_________.
三、解答题(本大题有6小题，共70分，请将解答过程写在答题卷上
17.(本小题满分10分)已知命题 ：实数 满足 ，
：实数 满足
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围.
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知 ，
(1)写出 的定义域. (2)求 的单调区间.
19. (本小题满分12分) 设命题 ， . 命题 ， . 如果命题“ ∨ ”为真命题，“ ∧ ”为假命题，求实数 的取值范围.
20. (本小题满分12分)已知椭圆 的左，右焦点 、 .若以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设L为过椭圆右焦点 的直线，交椭圆于 、 两点，当 周长为 时;
求 面积的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数
(1)求函数 的极大值点和极小值点;
(2)若 恰好有三个零点，求实数 取值范围.
22. (本题满分12分) 已知:抛物线m 焦点为 ，以 为圆心的圆 过原点 ，过 引斜率为 的直线与抛物线 和圆 从上至下顺次交于A、B、C、D.若 .
(1) 求抛物线方程.
(2)当为 何值时, 、 、 的面积成等差数列;
(3)设M为抛物线上任一点，过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为H.在圆 上是否存在点N，使 的最大值，若存在，求出 的最大值;若不存在，说明理由.
数学(文)参考答案
一、选择题 DBCDB CCDCA BA
12.
当且仅当M、A、B共线时， 周长的最小
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 14.1 15. 16.
16.解：由题意知：连接 的直线为 轴，线段 的中点为原点.
对于抛物线，有 ,所以， .
因为双曲线的实轴长为 因为抛物线的顶点横坐标是 .
所以，所 求抛物线的方程为 .
三、解答题
17.解：(1)
或
或 (5分)
(2) 是 的充分不必 要条件 是 的充分不必要条件
化简 ， 设
则 且 (10分)
18. 解: (1) 的定义域为 . (3分)
(2) ，得 ，(5分)
①当 时，在 上 ;在 上
的递增区间为 ;递减区间为 (9分)
②当 时，在 上 ;在 上
的递增区间为 ;递减区间为 (12分)
19.解:设 ，得 ，
2
有最大值 ;最小值 (6分)
则命题 成立得 ;命题 成立得
由命题“ ∨ ”为真命题，“ ∧ ”为假命题。则 一真一假
若 真 假，则 ;若 真 假，则
所以，实数 的取值范围为 (12分)
20.(1)由题意双曲线为 为等轴双曲线
则 ，得椭圆的离心率为 (4分)
(2) 周长为 8,可得：椭圆为： , (6分)
设PQ为 代入椭圆得 (8分)
(10分)
令 ;则 .(显然当 即 时最大)(12分)
法二:由对称性,不妨设PQ的倾斜角为 . ,
周长为 8,可得：椭圆为： ,
设PQ为 其中 代入椭圆得
又焦点弦
，显然 时取最大.
法三: 周长为 8,可得：椭圆为： ,
由对称性,不妨设PQ的倾斜角为 . ,
又 (其中 )
21.解:(1) 得 ;
在 和 上为增函数;在 上为减函数
(也可由 的图像得单调性)
函数 的极大值点为 ，极小值点为 (6分)
(2)若 恰好有三个零点，则 又 得 (12分)
22.解:(1)由题 意 , ;直线AD为
;
联立 得
由违达定理得 ∴
∴抛物线方程 ……5分
(2) 由 、 、 的面积成等差数列
得 (即弦长 )
∴ ∴ ……9分
(或 )
(3)由定义
∴存在 点N，使 的取得最大值为4 ……12分
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