初三数学下册期中考试卷2017
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一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分)
1.对于二次函数y=(x﹣4)2+3的图象，下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.与x轴有两个交点
C.对称轴：直线x=﹣4 D.顶点坐标(4，3)
2.一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
3.如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
4.若抛物线y=ax2经过点P(1，﹣3)，则此抛物线也经过点( )
A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)
5.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1
7.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么( )
A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0
8.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是( )
A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17
9.一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为( )
A.15° B.60° C.45° D.30°
10.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴与点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x>0时，y>0;
②若a=﹣1，则b=4;
③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，则y1>y2;
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6.
其中真命题的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)
11.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球.记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 个.
12.已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm.
13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
14.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣ x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米.(精确到1米)
15.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为A到A1到A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为 cm.(结果保留π).
16.在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2(x>0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 .
三、解答题(本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤)
17.已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点(2，3)，求这个函数的关系式.
18.在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形状、大小一样)，先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字.
(1)求一次取出乒乓球上的数字是负数的概率;
(2)求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率.
(3)求两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率.
19.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B=72°，求∠CAD的度数;
(2)若AB=13，AC=12，求DE的长.
20.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E.
(1)求证：BD=CD;
(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面积.
21.在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);
(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A1B1C1，画图并写出C1的坐标 ;
(2)以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得△A1B2C2，画图并写出C2的坐标 ;
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为 .
22.我区“联华”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如图所示的一次函数关系.
(1)试求出y与x的函数关系式;
(2)设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?
23.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状： ;
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积;
(3)直接写出线段PA，PB，PC之间的数量关系.
24.如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.
(1)求a、c的值.
(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.
(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分)
1.对于二次函数y=(x﹣4)2+3的图象，下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.与x轴有两个交点
C.对称轴：直线x=﹣4 D.顶点坐标(4，3)
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，然后根据开口方向和顶点坐标可判断抛物线与x轴的交点情况.
【解答】解：二次函数y=(x﹣4)2+3的图象的开口向上，对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4，3)，所以抛物线与x轴没有交点.
故选D.
2.一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式.
【分析】由一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：∵一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，
∴从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为： = .
故选A.
3.如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
【考点】圆周角定理;等边三角形的性质.
【分析】由等边三角形的性质知，∠A=60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC=60°.
【解答】解：∵△ABC正三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BPC=60°.
故选B.
4.若抛物线y=ax2经过点P(1，﹣3)，则此抛物线也经过点( )
A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】将点P(1，﹣3)代入y=ax2可求得解析式为y=﹣3x2，将四个点坐标分别代入验证可知将P (﹣1，﹣3)代入解析式得﹣3=﹣3×(﹣1)2，成立.
【解答】解：∵将点P(1，﹣3)代入y=ax2得a=﹣3，
∴y=﹣3x2，
将四个点坐标分别代入解析式可知，当x=﹣1时，y=﹣3，即D选项正确，其他三个选项均不成立.
故选：D.
5.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
【考点】作图—复杂作图;勾股定理的逆定理;圆周角定理.
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断.
【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.
故选：B.
6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】分别计算自变量为0、3、﹣3时的函数值，然后比较函数值的大小即可.
【解答】解：当x=0时，y1=﹣x2+4x﹣k=﹣k;
当x=﹣3时，y2=﹣x2+4x﹣k=﹣21﹣k;
当x=3时，y3=﹣x2+4x﹣k=3﹣k，
所以y2
故选B.
7.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么( )
A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可.
【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a>0;
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣ >0，
∵a>0，
∴b<0;
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c<0;
∴a>0，b<0，c<0.
故选：C.
8.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是( )
A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案.
【解答】解：A、y=x2﹣1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A正确;
B、y=x2+6x+5=(x+3)2﹣4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B错误;
C、y=x2+4x+4=(x+2)2，先向右平移2个单位得到y=(x+2﹣2)2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C正确;
D、y=x2+8x+17=(x+4)2+1，先向右平移2个单位得到y=(x+4﹣2)2+1=(x+2)2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D正确.
故选：B.
9.一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为( )
A.15° B.60° C.45° D.30°
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的外角和为360°，又由正多边形的每一个外角都相等，求出多边形的边数，根据圆心角为360°，即可解答.
【解答】解：正多边形的边数为：360÷30=12，
这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为：360°÷12=30°，
故选：D.
10.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴与点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x>0时，y>0;
②若a=﹣1，则b=4;
③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，则y1>y2;
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6.
其中真命题的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
【考点】命题与定理.
【分析】利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对①进行判断;先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可对②进行判断;先求出抛物线的对称轴方程，然后比较点P和Q到对称轴的距离大小，则根据二次函数的大小可对③进行判断;先求出D点和E点坐标，则作D点关于y轴的对称点D′(﹣1，4)，E点关于x轴的对称点E′(2，﹣3)，连结D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出DE和D′E′，则可对④进行判断.
【解答】解：当a
抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，所以A点坐标为(﹣1，0)，则B(3，0)，所以②错误;
抛物线的对称轴为直线x=1，而x1<12，所以点Q离对称轴较远，所以y1>y2，所以③正确;
当m=2，则y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，则D(1，4);当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C(0，3)，C点关于对称轴的对称点E的坐标为(2，3)，作D点关于y轴的对称点D′(﹣1，4)，E点关于x轴的对称点E′(2，﹣3)，连结D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，
所以DF+FG+GE=D′F+FG+GE′=D′E′，此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，最小值= + = + ，所以④错误.
故选C.
二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)
11.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球.记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 16 个.
【考点】利用频率估计概率.
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
= =0.2，
解得x=16.
故答案为16.
12.已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 5 cm.
【考点】三角形的外接圆与外心;勾股定理.
【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径.
【解答】解：∵直角边长分别为6cm和8cm，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm.
13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的`距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长.
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= = =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm.
故答案为：8.
14.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣ x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 米.(精确到1米)
【考点】二次函数的应用.
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长.
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y=8，
把y=8代入y=﹣ x2+10得：
x=±4 ，
∴由两点间距离公式可求出EF=8 ≈18(米).
15.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为A到A1到A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为 cm.(结果保留π).
【考点】弧长的计算.
【分析】利用弧长公式计算.
【解答】解：第一次转动是以点B为圆心，AB为半径，圆心角是90度，
所以弧AA1的长= = ，
第二次转动是以点C为圆心，A1C为半径圆心角为60度，
所以弧A1A2的长= =π，
所以总长= .
故答案为：
16.在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2(x>0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 ( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ) .
【考点】二次函数综合题.
【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论;
②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线OP：y= x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论;
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论;
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合;
∵∠AOH=60°，
∴直线OA：y= x，
联立抛物线的解析式得： ，
解得： 或 ，
故A( ，3);
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，则直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P( ， )，那么A( ， );
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH;
易知∠POH=30°，则直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P( ， )，
∴OP= = ，QP= ，
∴OH=OP= ，AH=QP= ，
故A( ， );
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH;
此时直线y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
∴P( ，3)，
∴QP=2，OP=2 ，
∴OH=QP=2，AH=OP=2 ，
故A(2，2 ).
综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).
故答案为：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).
三、解答题(本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤)
17.已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点(2，3)，求这个函数的关系式.
【考点】待定系数法求二次函数解析式.
【分析】设这个函数解析式为y=a(x﹣1)2+5，把点(2，3)代入解析式求出a即可.
【解答】解：设这个函数解析式为y=a(x﹣1)2+5
把点(2，3)代入，3=a(2﹣1)2+5，解得a=﹣2，
∴这个函数解析式是y=﹣2(x﹣1)2+5.
18.在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形状、大小一样)，先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字.
(1)求一次取出乒乓球上的数字是负数的概率;
(2)求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率.
(3)求两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)由在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形状、大小一样)，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出乒乓球上的数字之和等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案;
(3)由(2)中的树状图可求得两次取出乒乓球上的数字之积小于2的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)∵在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形状、大小一样)，
∴一次取出乒乓球上的数字是负数的概率为： = ;
(2)画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次取出乒乓球上的数字之和等于0的有4种情况，
∴两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率为： = ;
(3)∵两次取出乒乓球上的数字之积小于2的有10种情况，
∴两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率为： = .
19.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B=72°，求∠CAD的度数;
(2)若AB=13，AC=12，求DE的长.
【考点】圆周角定理;勾股定理.
【分析】(1)由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠CAB的度数，又由OD∥BC，OA=OD，即可求得∠OAD的度数，继而求得答案;
(2)由AB=13，AC=12，可求得C的长，然后由垂径定理，可知OE是△ABC的中位线，则可求得OE的长，继而求得答案.
【解答】解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠B=72°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=18°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=72°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=54°，
∴∠CAD=∠OAD﹣∠CAB=36°;
(2)∵AB=13，AC=12，
∴BC= =5，
∵OD∥BC，∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴OE= BC=2.5，
∵OD=OA= AB=6.5，
∴DE=OD﹣OE=4.
20.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E.
(1)求证：BD=CD;
(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面积.
【考点】扇形面积的计算;等腰三角形的性质.
【分析】(1)连接AD，根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD;
(2)连接OE，先求得∠AOE，再用扇形AOE的面积减去△AOE的面积即可得出弓形AE的面积.
【解答】证明：(1)连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC.
∵AB=AC.
∴BD=CD;
(2)连接OE，
∵AB=8，∠A=60°，
∴OA=OE=4，∠AOE=60°，
∴S弓形AE=S扇形AOE﹣S△AOE= ﹣ ×4×2 = π﹣4 .
21.在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);
(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A1B1C1，画图并写出C1的坐标 (﹣1，3) ;
(2)以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得△A1B2C2，画图并写出C2的坐标 (﹣3，﹣1) ;
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为 2π+4 .
【考点】作图-旋转变换;扇形面积的计算;作图-平移变换.
【分析】(1)根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案;
(2)根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可;
(3)根据平移的性质以及旋转的性质进而得出线段BC扫过的面积.
【解答】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，C1(﹣1，3);
故答案为：(﹣1，3);
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，C2(﹣3，﹣1);
故答案为：(﹣3，﹣1);
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为：2×2+ ﹣ =2π+4.
故答案为：2π+4.
22.我区“联华”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如图所示的一次函数关系.
(1)试求出y与x的函数关系式;
(2)设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，200)，利用待定系数法可求得y与x的关系式;
(2)利用x可表示出p，再利用二次函数的性质可求得p的最大值.
【解答】解：
(1)设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，200)，
代入解析式可得 ，解得 ，
∴y与x的函数关系式为y=﹣20x+1000(20≤x≤50);
(2)由(1)可知每天的销售量为y千克，
∴p=y(x﹣20)=(﹣20x+1000)(x﹣20)=﹣20x2+1400x+20000=﹣20(x﹣35)2+44500，
∵﹣20<0，
∴p=﹣20(x﹣35)2+44500是开口向下的抛物线，
∴当x=35时，p有最大值，最大值为44500元，
即销售单价为35元时，每天可获得最大利润，最大利润为44500元.
23.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状： 等边三角形 ;
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积;
(3)直接写出线段PA，PB，PC之间的数量关系.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状;
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为 的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积;
(3)在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得.
【解答】证明：(1)△ABC是等边三角形.
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形;
故答案为：等边三角形;
(2)当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大.
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E.
过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵S△APB= AB•PE，S△ABC= AB•CF，
∴S四边形APBC= AB•(PE+CF)，
当点P为 的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大.
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB= ，
∴S四边形APBC= ×2× = ;
(3)在PC上截取PD=AP，如图2，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中， ，
∴△APB≌△ADC(AAS)，
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP.
24.如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.
(1)求a、c的值.
(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.
(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求出A(0，c)，则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得 •c•2c=4，解得c=2，接着把C(2，0)代入y=ax2+2可求出a的值;
(2)如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F(t，t+2)，利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=﹣ (x﹣t)2+t+2，再把C(2，0)代入得﹣ (2﹣t)2+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=﹣ (x﹣6)2+8，所以F(6，8)，利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E(10，0)，则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形;
(3)分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2 ，于是可得Q点坐标为(6，2 );当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q(m，m+2)，利用两点间的距离公式得到(m﹣10)2+(m+2)2=102，解方程求出m的值即可得到Q点坐标.
【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A，
∴A(0，c)，则OA=c，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=c，
∴ •c•2c=4，解得c=2，
∴C(2，0)，
把C(2，0)代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣ ;
(2)△OEF是等腰三角形.理由如下：如图1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(0，2)、B(﹣2，0)代入得 ，解得 ，
则直线AB的解析式为y=x+2，
设F(t，t+2)，
∵抛物线y=﹣ x2+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，
∴平移后的抛物线解析式为y=﹣ (x﹣t)2+t+2，
把C(2，0)代入得﹣ (2﹣t)2+t+2=0，解得t=6，
∴平移后的抛物线解析式为y=﹣ (x﹣6)2+8，
∴F(6，8)，
∴OF= =10，
令y=0，﹣ (x﹣6)2+8=0，解得x1=2，x2=10，
∴OE=10，
∴OE=OF，
∴△OEF为等腰三角形;
(3)存在.点Q的位置分两种情形.
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在x轴上方时，如图2，
∵∠EQP=90°，EP=EP，
∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，
而HE=10﹣6=4，
∴QH= =2 ，
此时Q点坐标为(6，2 );
当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，
在Rt△PQK中，QK= = =8，
∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，
∵∠PKQ=∠QHE=90°，
∴△PKQ∽△QHE，
∴ ，∴ ，解得QH=3，
∴Q(6，3).
情形二、点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，
当x=10时，y=x+2=12，∴Q(10，12).
当QE=OE=10时，如图5，
过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N.
设Q的坐标为为(x，x+2)，∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，
在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=(10﹣x)2+(x+2)2，解得x=4± ，
当x=4+ 时，如图5，y=x+2=6+ ，∴Q(4+ ，6+ )，
当x=4﹣ 时，如图5，y=x+2=6﹣ ，∴Q(4﹣ ，6﹣ )，
综上所述，Q点的坐标为(6，2 )或(6，3)或(10，12)或(4+ ，6+ )或(4﹣ ，6﹣ )，使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等.
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