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房山区高二上学期理科数学期末考试题及答案
期末考试前的复习十分重要，关系到成绩的高低。下面百分网小编为大家带来一份房山区高二上学期理科数学的期末考试题，文末附有答案，有需要的同学可以看一看，更多内容欢迎关注应届毕业生网!
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 (选择题 共50分)
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知抛物线的方程是 ，则它的焦点坐标是
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查抛物线的定义。基础题
(2)已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则
﹙A﹚ (B)
﹙C﹚ (D﹚
命题意图：考查两个平行平面的法向量的关系。知道空间向量平行的条件就可得出答案。基础题
(3)圆 与圆 的位置关系是
(A)相离 (B)相交
(C)外切 (D)内切
命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。
(4)如图，在四面体 中，设 是 的中点，则 等于
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查空间向量的加法。熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。
(5)“直线 与平面 无公共点”是“直线 与平面 平行”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
命题意图：考查直线与平面平行的定义，充要条件。理解直线与平面平行的定义，理解充要条件才不会错选。
(6)若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查椭圆的定义，标准方程，性质。此题若学生没有关注到方程非标准方程，错误认为 也能得出正确答案。因为此题考查的重点是焦点在 轴上的椭圆方程的特点，学生能犯这个错误而选A也说明他知道这个知识点。初稿的方程是 ，但担心学生因为 的粗心处理而错选答案，所以改简单了。
(7)设 表示直线， 表示两个不同的平面，下列命题中正确的是
(A)若 ， ，则 (B)若 ， ，则
(C)若 ， ，则 (D)若 ， ，则
命题意图：考查线面位置关系的判定。此题需要排除错误选项，对学生空间想象能力和对相关定理的熟练程度要求高。试卷讲评时错误选项举反例让学生体会。答错的学生建议面谈纠正。
(8)棱长为 的正方体 中， 的值为
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查学生画图能力，考查空间向量的数量积。此题难度不大，方法有很多。
，或 或建系做。此题需要学生自己作图分析，所以题目虽难度不大，但位置靠后。
(9)设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上的点.若 ，
，则椭圆的离心率为
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查椭圆定义，几何性质，考查学生的计算能力。利用 ， 及直角三角形的三边关系是解决此题的关键。对学生能力要求高，难度适中。
(10)如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形， ， ，
， ， .若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是
(A) (B)
(C) (D)
命题意图：考查直线与平面垂直性质，考查计算能力，是选择题里难度最大的题目。此题转化为在梯形 中，满足 的点 的个数，再利用直角三角形中的勾股定理得出。此题对学生能力要求高，转化为求满足 的点 是关键思维点，讲评时重点引导学生怎么思考。
第二部分 (非选择题 共100分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(11)命题“ ， ”的否定是 .
命题意图：考查含有全称量词的命题的否定。基础题
(12)已知向量 ， ，则 .
命题意图：考查空间向量的运算。基础题
(13)已知 是双曲线 的一个焦点，则 ，该双曲线的渐近线方程
为 .
命题意图：考查双曲线的标准方程，几何性质。基础题
(14)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 .
命题意图：考查简单空间几何图形的三视图，考查空间想象能力。由三视图正确还原原几何体的解题的关键。
(15)已知点 ， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上任意一点，则 的最小
值为 ;点 到直线 的距离的最小值为 .
命题意图：考查抛物线的定义和性质，考查点到直线的距离，重点是把所求问题进行转化，得出答案。此类题目的通性通法需要学生掌握。
(16)在平面直角坐标系中，动点 到点 的距离比它到 轴的距离多 ，记点 的轨迹为曲线 ，
给出下列三个结论：
①曲线 过坐标原点;
②曲线 关于 轴对称;
③曲线 的轨迹是抛物线.
其中，所有正确结论的序号是 .
命题意图：考查根据条件求曲线方程，根据方程研究曲线性质。根据几何条件写出代数关系式，就可以判断①②正确。曲线是由一条射线和抛物线组成的。
三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(17)(本小题10分)
已知直线 过点 ，且与直线 平行.
(Ⅰ)求直线 的方程;
(Ⅱ)若直线 与直线 垂直，且在 轴上的截距为 ，求直线 的方程.
命题意图：考查直线平行和垂直斜率的关系，直线方程的点斜式、斜截式和一般式。基础题。
(18)(本小题10分)
已知圆 的圆心为点 ，且经过点 .
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)若直线 与圆 相交于 两点，且 ，求 的值.
命题意图：考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，(两点间的距离公式，点到直线的距离公式)，考查学生的计算能力。求圆的弦长的方法要求学生熟练掌握，得分不理想的学生一定督促其巩固。
(19)(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，过 的平面分别交棱 ， 于点 ， .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求证： 平面 .
命题意图：考查线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理，考查空间想象能力。此题证明过程要求表述清晰，书写规范。评分的标准制定考虑了定理中的每个条件，有缺失的要扣分，力求让学生意识到书写规范的重要性。
(20)(本小题13分)
已知抛物线 ： ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 .
(Ⅰ)求抛物线 的准线方程;
(Ⅱ)求实数 的取值范围;
(Ⅲ)若线段 中点的横坐标为 ，求 的长度.
命题意图：考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力。直线与圆锥曲线位置关系的判定及相交弦弦长的求法都是常考知识点，要求学生掌握并能准确解答。根据第三问的条件得出两个 值，根据条件需要舍去一个，粗心的学生可能忽略，即使不影响弦长的计算，未说明舍去的也扣1分。
(21)(本小题13分)
如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ，
.
(Ⅰ)求证： 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ) 为线段 上一点，若直线 与直线 所成的角为 ，求 的长.
命题意图：考查线面平行的判定，面面垂直的性质，用向量求面面角，线线角，考查空间想象能力和计算能力。第一问大部分学生会想到构造平行四边形证明，利用面面平行来证明更简洁明了，讲评时要复习这一部分的整体知识网络。第二问和第三题利用向量解决角的度量问题，常规角度，难度不大。
(22)(本小题12分)
椭圆 的中心在坐标原点，右焦点为 ，点 到短轴的一个端点的距离等于焦距.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设椭圆 与曲线 的交点为 ，求△ 面积的最大值.
命题意图：考查椭圆的标准方程和简单性质，第一问求椭圆方程需根据椭圆的性质得出 。第二问思路不复杂，分析清楚可以得出答案。最后一题不想太难为学生，希望一部分学生能得满分。此题虽叙述简洁，但有一定的思维含量，第一问命题时的想法就是条件不能“白”，也要考查学生的分析问题的能力。第二问的难点主要是求 的最大值，需要运用以前的知识。最后一题也鼓励学生做，不仅仅是只做第一问。
高二数学(理)参考答案
一、选择题(每小题5分，共50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C A D B B C
二、填空题(每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分)
(11) ，
(12)
(13) ;
(14)
(15) ;
(16)①② (只写一个正确的得3分，有错的不得分)
三、解答题(共6小题，共70分)
(17)(本小题10分)
解：
(Ⅰ)由直线 与直线 平行可知 的斜率为 ， ------------------2分
又直线 过点 ，则直线 的方程为
即 ------------------3分
(Ⅱ)由直线 与直线 垂直可知 的斜率为 ， ------------------2分
又直线 在 轴上的截距为 ，则直线 的方程为
即 ------------------3分(18)(本小题10分)
解：
(Ⅰ)圆 的半径 ------------------2分
由圆心为点 ，所以圆 的方程为
------------------3分(Ⅱ)圆心为点 ，半径为 ， ，
所以圆心 到直线 的距离为 ， ------------------2分
即 ------------------2分
(注：未得出 ，但有点到直线的距离公式得1分)
解得 ， ------------------1分
(19)(本小题12分)
(Ⅰ)∵底面 为菱形
∴ ------------------2分
又 平面 ， 平面 ------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
又∵ 平面 ，平面 平面 ------------------1分
∴ ------------------1分
(Ⅱ)∵底面 为菱形
∴ ------------------2分
设 交 于点 ，连接
∵ ， 为 的中点
∴ ------------------2分
∵ ， 平面 ， 平面
------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
(20)(本小题13分)
解：
(Ⅰ)由抛物线 的方程 ，得 ，
所以抛物线 的准线方程为 -------------------3分
(Ⅱ)直线 方程与抛物线 的方程联立，得方程组
-------------------1分
消 ，整理得 ， ① -------------------2分
由直线 与抛物线 交于不同的两点 ，则有
-------------------1分
解得
当 时，直线 与抛物线 只有一个交点，所以 的取值范围是
且 ------------------1分
(Ⅲ)若线段 中点的横坐标为 ，设 ， ，由(Ⅱ)中的①式得
， -------------------2分
解得 或 (舍) -------------------1分
-------------------2分
(结果不对，但弦长公式对得1分，没有“舍去 ”扣1分;求出 坐标用两
点间距离公式依照此标准得分)
(21)(本小题13分)
解：
(Ⅰ)法一：
∵四边形 是正方形，
∴ -----------------1分
又∵ -----------------1分
，
平面 ， 平面
平面 ， 平面
∴平面 平面 -----------------1分
∵ 平面 ， -----------------1分
∴ 平面 -----------------1分
法二：
取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ -----------------1分
∵四边形 是正方形，
∴ -----------------1分
∴ -----------------1分
∴四边形 是平行四边形
∴ -----------------1分
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 -----------------1分
(第一问的评分标准是采点给分，出现了分值对应的结论就对应给分，非采分点的
地方有缺失不扣分)
(Ⅱ)∵正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，
平面 平面
在正方形 ，
∴ 平面
∴ (没有∵的内容，只有最后结论不得分) ----------------1分
又 ， ，
以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， -----------------1分
(建系1分，文字说明或者图上标注都可以)
则 ， ， ，
是平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，则
------------------1分
即
令 ，得 ------------------1分
则
------------------1分
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ------------------1分
(Ⅲ)设 ( ) ------------------1分
又
解得 或 (舍) -----------------1分
的长为 -----------------1分
(22)(本小题12分)
解：
(Ⅰ)由右焦点为 ，得 -----------------1分
由点 到短轴的一个端点的距离等于焦距，得 -----------------2分
即
则
所以椭圆 的方程为 -----------------1分
(Ⅱ)设点 ( )，则 ，
设 交 轴于点 ，由对称性知：
-----------------2分
由 得得 ， -----------------2分
所以 -----------------3分
当且仅当 ， 时取等号，
所以△ 面积的最大值 . -----------------1分
说明：每道解答题基本提供一种解题方法，如有其他解法请仿此标准给分。
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